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青海海东地区中考数学试卷及答案2017

2017-4-9 编辑:zyy 查看次数: 手机版
栏目:青海


中考在即,各位考生你们准备好了么?下面是小编给大家整理的2017年中考数学模拟试卷供大家参考。


2017益新中学中考数学一模试卷



一、选择题

1.在△ABC中,∠C=90°,如果sinA=,那么tanB的值等于(  )

A.     B.     C.     D.

2.将抛物线y=x2先向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度可得抛物线(  )

A.y=(x﹣1)2﹣2  B.y=(x+1)2﹣2    C.y=(x﹣1)2+2    D.y=(x+1)2+2

3.如图,C是⊙O上一点,O是圆心,若∠C=35°,则∠AOB的度数为(  )



A.35°   B.70°   C.105° D.150°

4.如图,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则∠ABC的正切值是(  )



A.2      B.       C.  D.

5.设点Q到图形W上每一个点的距离的最小值称为点Q到图形W的距离.在直角坐标系中,如果⊙P是以(3,4)为圆心,1为半径的圆,那么点O(0,0)到⊙P的距离为?(  )

A.3      B.4      C.5      D.6

6.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列结论:

①b2﹣4ac>0;②abc>0;③8a+c>0;④9a+3b+c<0

其中,正确结论的个数是(  )



A.1      B.2      C.3      D.4

7.如图,A,B,E为⊙0上的点,⊙O的半径OC⊥AB于点D,若∠CEB=30°,OD=1,则AB的长为(  )



A.   B.4      C.2 D.6

8.如图,四个二次函数的图象中,分别对应的是:①y=ax2;②y=bx2;③y=cx2;④y=dx2,则a,b,c,d的大小关系是(  )



A.a>b>c>d  B.a>b>d>c  C.b>a>c>d  D.b>a>d>c

9.如图是拦水坝的横断面,斜坡AB的水平宽度为12米,斜面坡度为1:2,则斜坡AB的长为(  )



A.4米    B.6米    C.12米  D.24米

10.如图,⊙O的半径是2,直线l与⊙O相交于A、B两点,M、N是⊙O上的两个动点,且在直线l的异侧,若∠AMB=45°,则四边形MANB面积的最大值是(  )



A.2 B.4      C.4 D.8



二、填空题

11.如图,AB是⊙O的直径,点C在AB的延长线上,CD与⊙O相切,切点为D.如果∠A=35°,那么∠C等于  



12.如图,一块含有30°角的直角三角形ABC,在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到 A′B′C′的位置.若BC的长为15cm,那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为  



13.如图,PA、PB、DE分别切⊙O于点A、B、C,DE交PA、PB于点D、E,若∠P=40°,则∠DOE=  



14.如图,正方形ABCD内接于⊙O,AD=2,弦AE平分BC交BC于P,连接CE,则CE的长为  





三、解答题

15.计算:2sin30°+4cos30°•tan60°﹣cos245°.

16.已知抛物线y=x2+bx+c经过点(1,﹣4)和(﹣1,2),求这个抛物线的顶点坐标.

17.如图,一段圆弧AB上有一个点D,直线AC与圆弧相切于点A,请借助于切点A及B、D两点,利用尺规作图找出这段圆弧所在圆的圆心(不写作法,保留作图痕迹).



18.如图,在直径为50 cm的圆中,有两条弦AB和CD,AB∥CD,且AB为40 cm,弦CD为48 cm,求AB与CD之间距离.



19.如图,在△ABC中,∠A=90°,O是BC边上一点,以O为圆心的半圆分别与AB、AC边相切于D、E两点,连接OD.已知BD=2,AD=3.

求:(1)tanC;

(2)图中两部分阴影面积的和.



20.我国中东部地区雾霾天气趋于严重,环境治理已刻不容缓.我市某电器商场根据民众健康需要,代理销售某种家用空气净化器,其进价是200元/台.经过市场销售后发现:在一个月内,当售价是400元/台时,可售出200台,且售价每降低10元,就可多售出50台.若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台,代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务.

(1)试确定月销售量y(台)与售价x(元/台)之间的函数关系式;

(2)求售价x的范围;

(3)当售价x(元/台)定为多少时,商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w(元)最大?最大利润是多少?

21.今年“五一”假期.某数学活动小组组织一次登山活动.他们从山脚下A点出发沿斜坡AB到达B点.再从B点沿斜坡BC到达山巅C点,路线如图所示.斜坡AB的长为1040米,斜坡BC的长为400米,在C点测得B点的俯角为30°,点C到水平线AM的距离为600米.

(1)求B点到水平线AM的距离.

(2)求斜坡AB的坡度.



22.已知抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于点A,B(点A在点B左侧),其顶点为P,直线y=kx+b过抛物线与x轴的一个交点A,且与抛物线相交的另外一个交点为C,若S△ABC=10,请你回答下列问题:

(1)求直线的解析式;

(2)求四边形APBC的面积.

23.如图,⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足为点E,过点C作⊙O 的切线,交AB的延长线于点P,联结PD.

(1)判断直线PD与⊙O的位置关系,并加以证明;

(2)联结CO并延长交⊙O于点F,联结FP交CD于点G,如果CF=10,cos∠APC=,求EG的长.



24.如图,已知:AB是⊙O的直径,点C是⊙O上的一点,切线CD交AB的延长线于D.

(1)求证:△CBD∽△ACD.

(2)若CD=4,BD=2,求直径AB的长.

(3)在(2)的前提下求tan∠CAB的值.



25.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2﹣2mx﹣3(m≠0)与x轴交于A(3,0),B两点.

(1)求抛物线的表达式及点B的坐标;

(2)当﹣2<x<3时的函数图象记为G,求此时函数y的取值范围;

(3)在(2)的条件下,将图象G在x轴上方的部分沿x轴翻折,图象G的其余部分保持不变,得到一个新图象M.若经过点C(4.2)的直线y=kx+b(k≠0)与图象M在第三象限内有两个公共点,结合图象求b的取值范围.




2016年陕西省西安市益新中学中考数学一模试卷

参考答案与试题解析



一、选择题

1.在△ABC中,∠C=90°,如果sinA=,那么tanB的值等于(  )

A.     B.     C.     D.

【考点】锐角三角函数的定义;勾股定理.

【分析】根据三角函数的定义及勾股定理解答即可.

【解答】解:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,tanB=,a2+b2=c2,

又∵sinA=知,

∴设a=3x,则c=5x,b=4x.

∴tanB=

故选D.

【点评】求锐角的三角函数值的方法:

①根据锐角三角函数的定义,通过设参数的方法求三角函数值.

②利用同角(或余角)的三角函数关系式求三角函数值.



2.将抛物线y=x2先向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度可得抛物线(  )

A.y=(x﹣1)2﹣2  B.y=(x+1)2﹣2    C.y=(x﹣1)2+2    D.y=(x+1)2+2

【考点】二次函数图象与几何变换.

【分析】根据图象的平移规律,可得答案.

【解答】解:抛物线y=x2先向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度可得抛物线y=(x﹣1)2﹣2,

故选:A.

【点评】本题考查了函数图象与几何变换,抛物线与坐标轴的交点坐标的求法,要求熟练掌握平移的规律:左加右减,上加下减.



3.如图,C是⊙O上一点,O是圆心,若∠C=35°,则∠AOB的度数为(  )



A.35°   B.70°   C.105° D.150°

【考点】圆周角定理.

【分析】直接根据圆周角定理进行求解即可.

【解答】解:根据圆周角定理,可得:∠O=2∠C=70°.故选B.

【点评】本题主要考查了圆周角定理的应用.



4.如图,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则∠ABC的正切值是(  )



A.2      B.       C.  D.

【考点】锐角三角函数的定义;勾股定理;勾股定理的逆定理.

【专题】压轴题;网格型.

【分析】根据勾股定理,可得AC、AB的长,根据正切函数的定义,可得答案.

【解答】解:如图:

由勾股定理,得

AC=,AB=2,BC=

∴△ABC为直角三角形,

∴tan∠B==

故选:D.

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义,先求出AC、AB的长,再求正切函数.



5.设点Q到图形W上每一个点的距离的最小值称为点Q到图形W的距离.在直角坐标系中,如果⊙P是以(3,4)为圆心,1为半径的圆,那么点O(0,0)到⊙P的距离为?(  )

A.3      B.4      C.5      D.6

【考点】点与圆的位置关系;坐标与图形性质.

【分析】如图,连接OP交⊙P于E,作PF⊥x轴于F.由题意可知点O(0,0)到⊙P的距离为线段OE的长.

【解答】解:如图,连接OP交⊙P于E,作PF⊥x轴于F.



∵P(3,4),

∴OF=3,PF=4,

在Rt△POF中,OP===5,

∵PE=1,

∴OE=4,

由题意点O(0,0)到⊙P的距离为4.

故选B.

【点评】本题考查点与圆的位置关系、坐标与图形的性质、勾股定理等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.



6.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列结论:

①b2﹣4ac>0;②abc>0;③8a+c>0;④9a+3b+c<0

其中,正确结论的个数是(  )



A.1      B.2      C.3      D.4

【考点】二次函数图象与系数的关系.

【专题】压轴题.

【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.

【解答】解:①由图知:抛物线与x轴有两个不同的交点,则△=b2﹣4ac>0,故①正确;

②抛物线开口向上,得:a>0;

抛物线的对称轴为x=﹣=1,b=﹣2a,故b<0;

抛物线交y轴于负半轴,得:c<0;

所以abc>0;

故②正确;

③根据②可将抛物线的解析式化为:y=ax2﹣2ax+c(a≠0);

由函数的图象知:当x=﹣2时,y>0;即4a﹣(﹣4a)+c=8a+c>0,故③正确;

④根据抛物线的对称轴方程可知:(﹣1,0)关于对称轴的对称点是(3,0);

当x=﹣1时,y<0,所以当x=3时,也有y<0,即9a+3b+c<0;故④正确;

所以这四个结论都正确.

故选:D.

【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围求2a与b的关系,以及二次函数与方程之间的转换,根的判别式的熟练运用.



7.如图,A,B,E为⊙0上的点,⊙O的半径OC⊥AB于点D,若∠CEB=30°,OD=1,则AB的长为(  )



A.   B.4      C.2 D.6

【考点】垂径定理;勾股定理.

【分析】连接OB,由垂径定理可知,AB=2BD,由圆周角定理可得,∠COB=60°,在Rt△DOB中,OD=1,则BD=1×tan60°=,故AB=2

【解答】解:连接OB,

∵AB是⊙O的一条弦,OC⊥AB,

∴AD=BD,即AB=2BD,

∵∠CEB=30°,

∴∠COB=60°,

∵OD=1,

∴BD=1×tan60°=

∴AB=2

故选C.



【点评】本题主要考查了垂径定理,锐角三角函数及圆周角定理,作出合适的辅助线,运用三角函数是解答此题的关键.



8.如图,四个二次函数的图象中,分别对应的是:①y=ax2;②y=bx2;③y=cx2;④y=dx2,则a,b,c,d的大小关系是(  )



A.a>b>c>d  B.a>b>d>c  C.b>a>c>d  D.b>a>d>c

【考点】二次函数图象与系数的关系.

【专题】压轴题.

【分析】图中函数均以原点为顶点,y轴为对称轴,根据开口宽窄和方向解答.

【解答】解:由二次函数y=ax2的性质知,

(1)抛物线y=ax2的开口大小由|a|决定.

|a|越大,抛物线的开口越窄;

|a|越小,抛物线的开口越宽.

(2)抛物线y=ax2的开口方向由a决定.

当a>0时,开口向上,抛物线(除顶点外)都在x轴上方;

当a<0时,开口向下,抛物线(除顶点外)都在x轴下方.

根据以上结论知:a>b>0,0>c>d.

故选A.

【点评】此题只要熟悉二次函数的性质,就可以解答.



9.如图是拦水坝的横断面,斜坡AB的水平宽度为12米,斜面坡度为1:2,则斜坡AB的长为(  )



A.4米    B.6米    C.12米  D.24米

【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题.

【分析】先根据坡度的定义得出BC的长,进而利用勾股定理得出AB的长.

【解答】解:在Rt△ABC中,

∵i==,AC=12米,

∴BC=6米,

根据勾股定理得:

AB==6米,

故选:B.

【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题,勾股定理,难度适中.根据坡度的定义求出BC的长是解题的关键.



10.如图,⊙O的半径是2,直线l与⊙O相交于A、B两点,M、N是⊙O上的两个动点,且在直线l的异侧,若∠AMB=45°,则四边形MANB面积的最大值是(  )



A.2 B.4      C.4 D.8

【考点】垂径定理;勾股定理.

【分析】过点O作OC⊥AB于C,交⊙O于D、E两点,连结OA、OB、DA、DB、EA、EB,根据圆周角定理推出△OAB为等腰直角三角形,求得AB=OA=2,根据已知条件即可得到结论.

【解答】解:过点O作OC⊥AB于C,交⊙O于D、E两点,连结OA、OB、DA、DB、EA、EB,如图,

∵∠AMB=45°,

∴∠AOB=2∠AMB=90°,

∴△OAB为等腰直角三角形,

∴AB=OA=2

∵S四边形MANB=S△MAB+S△NAB,

∴当M点到AB的距离最大,△MAB的面积最大;当N点到AB的距离最大时,△NAB的面积最大,

即M点运动到D点,N点运动到E点,

此时四边形MANB面积的最大值=S四边形DAEB=S△DAB+S△EAB=AB•CD+AB•CE=AB(CD+CE)=AB•DE=×2×4=4

故选C.



【点评】本题考查了垂径定理:平分弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.也考查了圆周角定理,正确的作出辅助线是解题的关键.



二、填空题

11.如图,AB是⊙O的直径,点C在AB的延长线上,CD与⊙O相切,切点为D.如果∠A=35°,那么∠C等于 20° 



【考点】切线的性质.

【分析】连接OD,则可求得∠DOC,由切线的性质可知∠ODC=90°,在Rt△OCD中可求得∠C.

【解答】解:

如图,连接OD,

∵CD是⊙O的切线,

∴OD⊥CD,即∠ODC=90°,

∵AB为直径,

∴∠COD=2∠A=70°,

∴∠C=90°﹣70°=20°,

故答案为:20°.



【点评】本题主要考查切线的性质,掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键.



12.如图,一块含有30°角的直角三角形ABC,在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到 A′B′C′的位置.若BC的长为15cm,那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为 20πcm 



【考点】弧长的计算;旋转的性质.

【分析】顶点A从开始到结束所经过的路径是一段弧长是以点C为圆心,AC为半径,旋转的角度是180﹣60=120°,所以根据弧长公式可得.

【解答】解: =20πcm.

故答案为20πcm.

【点评】本题考查了弧长的计算以及旋转的性质,解本题的关键是弄准弧长的半径和圆心角的度数.



13.如图,PA、PB、DE分别切⊙O于点A、B、C,DE交PA、PB于点D、E,若∠P=40°,则∠DOE= 70° 




【考点】切线的性质.

【分析】分别连接OA、OB、OC,由四边形内角和可求得∠AOB,再根据切线和定理可求得∠DOC+∠EOC,则可求得答案.

【解答】解:

如图,分别连接OA、OB、OC,

∵PA、PB、DE分别切⊙O于点A、B、C,

∴∠OAP=∠OBP=90°,

∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣∠P=140°,

∵DA、DC是⊙O的切线,

∴OD平分∠AOC,

∴∠DOC=∠AOC,

同理可得∠EOC=∠BOC,

∴∠DOE=∠DOC+∠EOC=(∠AOC+∠BOC)=∠AOB=70°,

故答案为:70°.



【点评】本题主要考查切线的性质及切线长定理,根据切线长定理求得∠DOE=∠AOB是解题的关键,注意整体思想的应用.

 

14.如图,正方形ABCD内接于⊙O,AD=2,弦AE平分BC交BC于P,连接CE,则CE的长为  



【考点】正多边形和圆.

【分析】根据圆周角定理求得∠AEC=90°,由勾股定理求出AM的长,再证明△AMB∽△CME,根据相似三角形对应边比例即可求出CE的长.

【解答】解:连接AC,BE,如图所示:

四边形abcd是正方形

∴BC=AB=2,

∵AE平分BC,

∴BM=CM=1,

∵四边形ABCD为圆内正方形,

∴AC必过圆心O,且∠AEC=∠ABC=90°,

∵∠CME=∠AMB,

∴△AMB∽△CME,



∵AM===



∴CE=

故答案为



【点评】本题考查了正方形的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识;证明三角形相似是解决问题的关键.

 

三、解答题

15.计算:2sin30°+4cos30°•tan60°﹣cos245°.

【考点】特殊角的三角函数值.

【专题】计算题.

【分析】将sin30°=,cos30°=,tan60°=,cos45°=代入运算,即可得出答案.

【解答】解:原式=2×+4×

=1+6﹣

=

【点评】此题考查了特殊角的三角函数值,属于基础题,解答本题的关键是掌握一些特殊角的三角函数值,需要我们熟练记忆,难度一般.

 

16.已知抛物线y=x2+bx+c经过点(1,﹣4)和(﹣1,2),求这个抛物线的顶点坐标.

【考点】二次函数的性质.

【分析】利用待定系数法即可求出二次函数解析式,配方成抛物线的顶点式即可求出抛物线的顶点坐标.

【解答】解:(1)把点(1,﹣4)和(﹣1,2)代入y=x2+bx+c,得

解得,所以抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣2.

y=x2﹣3x﹣2=(x﹣)2+

所以抛物线的顶点坐标为().

【点评】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式及二次函数的性质,解题的关键是正确求出二次函数的解析式.

 

17.如图,一段圆弧AB上有一个点D,直线AC与圆弧相切于点A,请借助于切点A及B、D两点,利用尺规作图找出这段圆弧所在圆的圆心(不写作法,保留作图痕迹).



【考点】作图—复杂作图;垂径定理;切线的性质.

【专题】作图题.

【分析】过点A作直线a⊥AC,根据切线的性质可判断圆心在直线a上,再连接BD,作BD的垂直平分线b,根据垂径定理可得到圆心在直线b上,则直线a和b的交点为圆心O.

【解答】解:如图,点O为所作.



【点评】本题考查了作图﹣复杂作图:复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.也考查了切线的性质和垂径定理.

 

18.如图,在直径为50 cm的圆中,有两条弦AB和CD,AB∥CD,且AB为40 cm,弦CD为48 cm,求AB与CD之间距离.



【考点】垂径定理;平行线的性质.

【分析】根据题意画出图形,分AB与CD在圆心的同侧与异侧两种情况进行讨论.

【解答】解:如图1所示,过O作OM⊥AB,

∵AB∥CD,∴ON⊥CD.

在Rt△BMO中,BO=25cm.

由垂径定理得BM=AB=×40=20cm,

∴OM===15cm.

同理可求ON===7cm,

∴MN=OM﹣ON=15﹣7=8cm.

当两弦位于圆心的两旁时,如图2所示:

过O作OM⊥AB,

∵AB∥CD,∴ON⊥CD.

在Rt△BMO中,BO=25cm.

由垂径定理得BM=AB=×40=20cm,

∴OM===15cm.

同理可求ON===7cm,

则MN=OM+ON=15+7=22(cm).

综上所示,AB与CD之间的距离为8cm或22cm.





【点评】此题主要考查的是垂径定理,解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里,运用勾股定理求解.分类讨论训练学生思维的严谨性.

 

19.(2011•福州)如图,在△ABC中,∠A=90°,O是BC边上一点,以O为圆心的半圆分别与AB、AC边相切于D、E两点,连接OD.已知BD=2,AD=3.

求:(1)tanC;

(2)图中两部分阴影面积的和.



【考点】切线的性质;正方形的判定与性质;扇形面积的计算;锐角三角函数的定义.

【专题】计算题.

【分析】(1)连接OE,得到∠ADO=∠AEO=90°,根据∠A=90°,推出矩形ADOE,进一步推出正方形ADOE,得出OD∥AC,OD=AD=3,∠BOD=∠C,即可求出答案;

(2)设⊙O与BC交于M、N两点,由(1)得:四边形ADOE是正方形,推出∠COE+∠BOD=90°,根据,OE=3,求出,根据S扇形DOM+S扇形EON=S扇形DOE,即可求出阴影部分的面积.

【解答】解:(1)连接OE,

∵AB、AC分别切⊙O于D、E两点,

∴AD⊥OD,AE⊥OE,

∴∠ADO=∠AEO=90°,

又∵∠A=90°,

∴四边形ADOE是矩形,

∵OD=OE,

∴四边形ADOE是正方形,

∴OD∥AC,OD=AD=3,

∴∠BOD=∠C,

∴在Rt△BOD中,



答:tanC=


(2)如图,设⊙O与BC交于M、N两点,

由(1)得:四边形ADOE是正方形,

∴∠DOE=90°,

∴∠COE+∠BOD=90°,

∵在Rt△EOC中, =,OE=3,



∴S扇形DOM+S扇形EON=S扇形DOE=

∴S阴影=S△BOD+S△COE﹣(S扇形DOM+S扇形EON)=

答:图中两部分阴影面积的和为





【点评】本题主要考查对正方形的性质和判定,锐角三角函数的定义,扇形的面积,切线的性质等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行计算是解此题的关键.



20.(2014•荆门)我国中东部地区雾霾天气趋于严重,环境治理已刻不容缓.我市某电器商场根据民众健康需要,代理销售某种家用空气净化器,其进价是200元/台.经过市场销售后发现:在一个月内,当售价是400元/台时,可售出200台,且售价每降低10元,就可多售出50台.若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台,代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务.

(1)试确定月销售量y(台)与售价x(元/台)之间的函数关系式;

(2)求售价x的范围;

(3)当售价x(元/台)定为多少时,商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w(元)最大?最大利润是多少?

【考点】二次函数的应用;一次函数的应用.

【专题】销售问题.

【分析】(1)根据题中条件销售价每降低10元,月销售量就可多售出50台,即可列出函数关系式;

(2)根据供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台,代理销售商每月要完成不低于450台的销售即可求出x的取值.

(3)用x表示y,然后再用x来表示出w,根据函数关系式,即可求出最大w;

【解答】解:(1)根据题中条件销售价每降低10元,月销售量就可多售出50台,

则月销售量y(台)与售价x(元/台)之间的函数关系式:y=200+50×,化简得:y=﹣5x+2200;


(2)根据供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台,代理销售商每月要完成不低于450台,



解得:300≤x≤350.

所以y与x之间的函数关系式为:y=﹣5x+2200(300≤x≤350);


(3)W=(x﹣200)(﹣5x+2200),

整理得:W=﹣5(x﹣320)2+72000.

∵x=320在300≤x≤350内,

∴当x=320时,最大值为72000,

即售价定为320元/台时,商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w最大,最大利润是72000元.

【点评】本题主要考查对于一次函数的应用和掌握,而且还应用到将函数变形求函数极值的知识.



21.今年“五一”假期.某数学活动小组组织一次登山活动.他们从山脚下A点出发沿斜坡AB到达B点.再从B点沿斜坡BC到达山巅C点,路线如图所示.斜坡AB的长为1040米,斜坡BC的长为400米,在C点测得B点的俯角为30°,点C到水平线AM的距离为600米.

(1)求B点到水平线AM的距离.


(2)求斜坡AB的坡度.



【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题;解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题.

【分析】(1)过C作CF⊥AM,F为垂足,过B点作BE⊥AM,BD⊥CF,E、D为垂足,根据在C点测得B点的俯角为30°,可得∠CBD=30°,继而可求得CD的长度,进而求出BE;

(2)先利用勾股定理求出AE的长度,再根据坡度的定义即可求得AB的坡度.

【解答】解:(1)如图,过C作CF⊥AM,F为垂足,过B点作BE⊥AM,BD⊥CF,E、D为垂足,

在C点测得B点的俯角为30°,

∴∠CBD=30°,又BC=400米,

∴CD=400×sin30°=400×=200(米),

∴BE=DF=CF﹣CD=600﹣200=400(米),

即B点到水平线AM的距离为400米;


(2)∵BE=400米,AB=1040米,∠AEB=90°,

∴AE===960(米),

∴斜坡AB的坡度iAB====1:2.4,

故斜坡AB的坡度为1:2.4.



【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题以及解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题,解答本题的关键是根据俯角构造直角三角形,要求同学们熟练掌握坡度的定义.



22.已知抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于点A,B(点A在点B左侧),其顶点为P,直线y=kx+b过抛物线与x轴的一个交点A,且与抛物线相交的另外一个交点为C,若S△ABC=10,请你回答下列问题:

(1)求直线的解析式;

(2)求四边形APBC的面积.

【考点】抛物线与x轴的交点;一次函数图象上点的坐标特征.

【分析】(1)令y=0,则x2﹣2x﹣3=0,得到A(﹣1,0),B(3,0),设C(m,m2﹣2m﹣3),根据三角形的面积得到C(4,5)或(﹣2,5),解方程组即可得到结论;

(2)根据抛物线的解析式得到P(1,﹣4),根据三角形的面积公式即可得到结论.

【解答】解:(1)令y=0,则x2﹣2x﹣3=0,

解得:x1=﹣1,x2=3,

∴A(﹣1,0),B(3,0),

设C(m,m2﹣2m﹣3),

∴S△ABC=×4×|m2﹣2m﹣3|=10,

∴m=4或m=﹣2,

∴C(4,5)或(﹣2,5),





∴直线的解析式为:y=x+1或y=﹣5x﹣5;

(2)如图,∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,

∴P(1,﹣4),

∵A(﹣1,0),B(3,0),

∴四边形APBC的面积=S△ABC+S△ABP=×4×5+×4×4=18.



【点评】本题考查了二次函数的图象的性质的运用,三角形的面积公式的运用,梯形的面积公式的运用,抛物线与x轴的交点坐标的运用,解答时求出点C的坐标是关键.



23.(2015•黄冈模拟)如图,⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足为点E,过点C作⊙O 的切线,交AB的延长线于点P,联结PD.

(1)判断直线PD与⊙O的位置关系,并加以证明;

(2)联结CO并延长交⊙O于点F,联结FP交CD于点G,如果CF=10,cos∠APC=,求EG的长.



【考点】切线的判定;全等三角形的判定与性质;相似三角形的判定与性质.

【分析】(1)连接OD.欲证PD是⊙O的切线,只需证明OD⊥PD即可;通过全等三角形△COP≌△DOP(SAS)的对应角∠OCP=∠ODP=90°来证明该结论;

(2)作FM⊥AB于点M,先求得∠3=∠APC,从而求得,得出CE=4,OE=3,然后证得△OFM≌△OCE,得出FM=CE=4,OM=OE=3.

在Rt△OCE中,,设PC=4k,OP=5k,则OC=3k,进而得出,从而求得

通过△PGE∽△PFM得出,即可求得EG的长.

【解答】(1)PD与⊙O相切于点D;

证明:连接OD

∵在⊙O中,OD=OC,AB⊥CD于点E,

∴∠COP=∠DOP.

在△OCP和△ODP中



∴△OCP≌△ODP(SAS).

∴∠OCP=∠ODP.

又∵PC切⊙O于点C,OC为⊙O半径,

∴OC⊥PC,

∴∠OCP=90°.

∴∠ODP=90°.

∴OD⊥PD于点D.

∴PD与⊙O相切于点D.


(2)作FM⊥AB于点M.

∵∠OCP=90°,CE⊥OP于点E,

∴∠3+∠4=90°,∠APC+∠4=90°.

∴∠3=∠APC.



∴Rt△OCE中,

∵CF=10,



∴CE=4,OE=3.

又∵FM⊥AB,AB⊥CD,

∴∠FMO=∠CEO=90°.

在△OFM和△OCE中



∴△OFM≌△OCE(AAS).

∴FM=CE=4,OM=OE=3.

∵在Rt△OCE中,,设PC=4k,OP=5k,

∴OC=3k.

∴3k=5,





又∵∠FMO=∠GEP=90°,

∴FM∥GE.

∴△PGE∽△PFM.

,即





【点评】本题考查了切线的判断和性质,三角形全等的判断和性质,相似三角形的判断和性质,直角三角函数等,作出辅助线根据全等三角形是解题的关键.



24.如图,已知:AB是⊙O的直径,点C是⊙O上的一点,切线CD交AB的延长线于D.

(1)求证:△CBD∽△ACD.

(2)若CD=4,BD=2,求直径AB的长.

(3)在(2)的前提下求tan∠CAB的值.



【考点】相似三角形的判定与性质;切线的性质;解直角三角形.

【专题】证明题.

【分析】(1)由AB为直径得到∠ACO+∠BCO=90°,利用切线的性质得∠BCO+∠BCD=90°,则根据等角的余角相等得到∠BCD=∠ACO,加上∠ACO=∠A,则∠A=∠BCD,则可根据相似三角形的判定方法可得到结论;

(2)由△CBD∽△ACD得到DC:DA=DB:DC,然后利用比例性质可求出AB;

(3)由△CBD∽△ACD得到===,然后根据正切的定义求解.

【解答】(1)证明:∵AB为直径,

∴∠ACB=90°,即∠ACO+∠BCO=90°,

∵CD为切线,

∴OC⊥CD,

∴∠BCO+∠BCD=90°,

∴∠BCD=∠ACO,

∵OA=OC,

∴∠ACO=∠A,

∴∠A=∠BCD,

而∠BDC=∠CDA,

∴△CBD∽△ACD;

(2)解:∵△CBD∽△ACD,

∴DC:DA=DB:DC,即4:(2+AB)=2:4,

∴AB=6;

(3)解:∵△CBD∽△ACD,

===

在Rt△ABC中,tan∠CAB==

【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质:在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用,寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形;在运用相似三角形的性质时,主要利用相似进行几何计算.也考查了切线的性质.



25.(2015•石景山区一模)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2﹣2mx﹣3(m≠0)与x轴交于A(3,0),B两点.

(1)求抛物线的表达式及点B的坐标;

(2)当﹣2<x<3时的函数图象记为G,求此时函数y的取值范围;

(3)在(2)的条件下,将图象G在x轴上方的部分沿x轴翻折,图象G的其余部分保持不变,得到一个新图象M.若经过点C(4.2)的直线y=kx+b(k≠0)与图象M在第三象限内有两个公共点,结合图象求b的取值范围.

【考点】二次函数图象与几何变换;待定系数法求二次函数解析式.

【分析】(1)把点A的坐标代入抛物线解析式,列出关于m的方程,通过解该方程可以求得m的值;

(2)根据抛物线解析式求得对称轴,所以由抛物线的对称性和增减性进行解答;

(3)根据题意作出函数图象,由图象直接回答问题.

【解答】解:(1)将A(3,0)代入,得m=1.

∴抛物线的表达式为y=x2﹣2x﹣3.

B点的坐标(﹣1,0).


(2)y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4.

∵当﹣2<x<1时,y随x增大而减小;

当1≤x<3时,y随x增大而增大,

∴当x=1,y最小=﹣4.

当x=﹣2,y=5.

∴y的取值范围是﹣4≤y<5.


(3)当直线y=kx+b经过B(﹣1,0)和点(4,2)时,

解析式为y=x+

当直线y=kx+b经过(﹣2,﹣5)和点(4,2)时,

解析式为y=x﹣

结合图象可得,b的取值范围是﹣<b<





【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换,待定系数法求二次函数的解析式.解题时,注意数形结合,使抽象的问题变得具体化,降低了解题的难度.




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