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2017年河南省中考数学模拟试卷及答案

2017-4-23 编辑:zyy 查看次数: 手机版

2017年河南省商丘市柘城中学中考数学一模试卷

一、选择题(每小题3分,共30分.下列各小题均有四个答案,其中只有一个正确选项)
1.﹣3的倒数是(  )
A.3      B.﹣3  C.     D.
2.下列各运算中,计算正确的是(  )
A. =±3       B.2a+3b=5ab    C.(﹣3ab2)2=9a2b4       D.(a﹣b)2=a2﹣b2
3.据新华社北京2017年1月20日电国家统计局20日发布数据,初步核算,2016年我国国内生产总值(GDP)约74万亿元,若将74万亿用科学记数法表示为(  )
A.7.4×1013      B.7.4×1012      C.74×1013       D.0.74×1012
4.如图是由棱长为1的正方体搭成的某几何体三视图,则图中棱长为1的正方体的个数是(  )

A.5      B.6      C.7      D.8
5.小红同学四次中考数学模拟考试成绩分别是:96,104,104,116,关于这组数据下列说法错误的是(  )
A.平均数是105      B.众数是104   C.中位数是104      D.方差是50
6.方程(x﹣2)(x﹣4)=0的两个根是等腰三角形的底和腰,则这个等腰三角形的周长为(  )
A.6      B.8      C.10    D.8或10
7.一次函数y=﹣3x+b和y=kx+1的图象如图所示,其交点为P(3,4),则不等式kx+1≥﹣3x+b的解集在数轴上表示正确的是(  )

A. B.       C.       D.
8.现有四张完全相同的卡片,上面分别标有数字0,1,2,3,把卡片背面朝上洗匀,然后从中随机抽取两张卡片组成一个两位数,则这个两位数是偶然的概率是(  )
A.     B.     C.     D.
9.若点A(﹣4,y1),B(﹣1,y2),C(1,y3)在抛物线y=﹣(x+2)2﹣1上,则(  )
A.y1<y3<y2     B.y2<y1<y3     C.y3<y2<y1     D.y3<y1<y2
10.如图,在▱ABCD中,AC与BD相交于点O,E为OD的中点,连接AE并延长交DC于点F,则S△DEF:S△AOB的值为(  )

A.1:3       B.1:5       C.1:6       D.1:11

二、填空题(每小题3分,共15分)
11.计算:|﹣2|﹣=  
12.如图,若AB∥CD,∠C=60°,则∠A+∠E=  度.

13.如图,已知第一象限内的点A在反比例函数y=上,第二象限的点B在反比例函数y=上,且OA⊥OB,tanA=,则k的值为  

14.如图,扇形OAB中,∠AOB=60°,扇形半径为4,点C在上,CD⊥OA,垂足为点D,当△OCD的面积最大时,图中阴影部分的面积为  

15.如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=3,点E为射线BC上一动点,将△ABE沿AE折叠,得到△AB′E.若B′恰好落在射线CD上,则BE的长为  


三、解答题(本大题共8题,满分75分)
16.先化简,再求值:÷(1﹣),其中x=+2.
17.为了解2016年初中毕业生毕业后的去向,某县教育局对部分初三学生进行了抽样调查,就初三学生的四种去向(A,读普通高中;B,读职业高中; C,直接进入社会就业; D,其它)进行数据统计,并绘制了两幅不完整的统计图(a)、(b).请根据图中信息解答下列问题:

(1)该县共调查了多少名初中毕业生?
(2)通过计算,将两幅统计图中不完整的部分补充完整;
(3)若该县2016年初三毕业生共有4500人,请估计该县今年的初三毕业生中准备读普通高中的学生人数.
18.如图,已知⊙O的半径为1,AC是⊙O的直径,过点C作⊙O的切线BC,E是BC的中点,AB交⊙O于D点.
(1)直接写出ED和EC的数量关系:  
(2)DE是⊙O的切线吗?若是,给出证明;若不是,说明理由;
(3)填空:当BC=  时,四边形AOED是平行四边形,同时以点O、D、E、C为顶点的四边形是  

19.如图,一次函数y=kx+3的图象分别交x轴、y轴于点B、点C,与反比例函数y=的图象在第四象限的相交于点P,并且PA⊥y轴于点A,已知A (0,﹣6),且S△CAP=18.
(1)求上述一次函数与反比例函数的表达式;
(2)设Q是一次函数y=kx+3图象上的一点,且满足△OCQ的面积是△BCO面积的2倍,求出点Q的坐标.

20.由于发生山体滑坡灾害,武警救援队火速赶往灾区救援,探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象.在废墟一侧地面上探测点A、B相距2米,探测线与该地面的夹角分别是30°和60°(如图所示),试确定生命所在点C的深度.(参考数据:≈1.414,,1.732,结果精确到0.1)

21.某批发市场有中招考试文具套装,其中A品牌的批发价是每套20元,B品牌的批发价是每套25元,小王需购买A、B两种品牌的文具套装共1000套.
(1)若小王按需购买A、B两种品牌文具套装共用22000元,则各购买多少套?
(2)凭会员卡在此批发市场购买商品可以获得8折优惠,会员卡费用为500元.若小王购买会员卡并用此卡按需购买1000套文具套装,共用了y元,设A品牌文具套装买了x包,请求出y与x之间的函数关系式.
(3)若小王购买会员卡并用此卡按需购买1000套文具套装,共用了20000元,他计划在网店包邮销售这两种文具套装,每套文具套装小王需支付邮费8元,若A品牌每套销售价格比B品牌少5元,请你帮他计算,A品牌的文具套装每套定价不低于多少元时才不亏本(运算结果取整数)?
22.已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形,∠ACB=∠ADE=90°,点F为BE中点,连接DF、CF.
(1)如图1,当点D在AB上,点E在AC上,请直接写出此时线段DF、CF的数量关系和位置关系(不用证明);
(2)如图2,在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时,请你判断此时(1)中的结论是否仍然成立,并证明你的判断;
(3)如图3,在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°时,若AD=1,AC=,求此时线段CF的长(直接写出结果).

23.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)图象的顶点为D,其图象与x轴的交点A(﹣1,0)、B(3,0),与y轴负半轴交于点C.
(1)若△ABD为等腰直角三角形,求此时抛物线的解析式;
(2)a为何值时△ABC为等腰三角形?
(3)在(1)的条件下,抛物线与直线y=x﹣4交于M、N两点(点M在点N的左侧),动点P从M点出发,先到达抛物线的对称轴上的某点E,再到达x轴上的某点F,最后运动到点N,若使点P运动的总路径最短,求点P运动的总路径的长.


2017年河南省商丘市柘城中学中考数学一模试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题3分,共30分.下列各小题均有四个答案,其中只有一个正确选项)
1.﹣3的倒数是(  )
A.3      B.﹣3  C.     D.
【考点】倒数.
【分析】直接根据倒数的定义进行解答即可.
【解答】解:∵(﹣3)×(﹣)=1,
∴﹣3的倒数是﹣
故选:D.

2.下列各运算中,计算正确的是(  )
A. =±3       B.2a+3b=5ab    C.(﹣3ab2)2=9a2b4       D.(a﹣b)2=a2﹣b2
【考点】完全平方公式;算术平方根;合并同类项;幂的乘方与积的乘方.
【分析】根据算术平方根定义可判断A,根据同类项定义可判断B,根据幂的运算可判断C,根据完全平方公式可判断D.
【解答】解:A、=3,故此选项错误;
B、2a、3b不是同类项,无法合并,故此选项错误;
C、(﹣3ab2)2=9a2b4,故此选项正确;
D、(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2,故此选项错误;
故选:C.

3.据新华社北京2017年1月20日电国家统计局20日发布数据,初步核算,2016年我国国内生产总值(GDP)约74万亿元,若将74万亿用科学记数法表示为(  )
A.7.4×1013      B.7.4×1012      C.74×1013       D.0.74×1012
【考点】科学记数法—表示较大的数.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:将74万亿用科学记数法表示为7.4×1013,
故选:A.

4.如图是由棱长为1的正方体搭成的某几何体三视图,则图中棱长为1的正方体的个数是(  )

A.5      B.6      C.7      D.8
【考点】由三视图判断几何体.
【分析】易得这个几何体共有2层,由俯视图可得第一层正方体的个数,由主视图和左视图可得第二层正方体的个数,相加即可.
【解答】解:由俯视图易得最底层有5个正方体,第二层有1个正方体,那么共有5+1=6个正方体组成,
故选B.

5.小红同学四次中考数学模拟考试成绩分别是:96,104,104,116,关于这组数据下列说法错误的是(  )
A.平均数是105      B.众数是104   C.中位数是104      D.方差是50
【考点】方差;算术平均数;中位数;众数.
【分析】由平均数、众数、中位数、方差的定义即可判断.
【解答】解:(A)平均数为: =105,故A正确;
(B)出现最多的数据是104,故B正确;
(C)先排序:96、104、104、116,所以中位数为=104,故C正确;
(D)方差为: [(96﹣105)2+2+2+2]=51,故D错误
故选(D)

6.方程(x﹣2)(x﹣4)=0的两个根是等腰三角形的底和腰,则这个等腰三角形的周长为(  )
A.6      B.8      C.10    D.8或10
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法;三角形三边关系;等腰三角形的性质.
【分析】先利用因式分解法解方程得到x1=2,x2=4,再根据三角形三边的关系判断等腰三角形的底为2,腰为4,然后计算这个等腰三角形的周长.
【解答】解:∵(x﹣2)(x﹣4)=0,
∴x﹣2=0或x﹣4=0,
∴x1=2,x2=4,
∵当2为腰,4为底时,2+2=4,不符合三角形三边的关系,
∴等腰三角形的底为2,腰为4,
∴这个等腰三角形的周长=2+4+4=10.
故选C.

7.一次函数y=﹣3x+b和y=kx+1的图象如图所示,其交点为P(3,4),则不等式kx+1≥﹣3x+b的解集在数轴上表示正确的是(  )

A. B.       C.       D.
【考点】一次函数与一元一次不等式;在数轴上表示不等式的解集.
【分析】观察图象,直线y=kx+1落在直线y=﹣3x+b上方的部分对应的x的取值范围即为所求.
【解答】解:∵一次函数y=﹣3x+b和y=kx+1的图象交点为P(3,4),
∴当x≥3时,kx+1≥﹣3x+b,
∴不等式kx+1≥﹣3x+b的解集为x≥3,
在数轴上表示为:
故选B.

8.现有四张完全相同的卡片,上面分别标有数字0,1,2,3,把卡片背面朝上洗匀,然后从中随机抽取两张卡片组成一个两位数,则这个两位数是偶然的概率是(  )
A.     B.     C.     D.
【考点】列表法与树状图法.
【分析】首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与这个两位数是偶数的情况,再利用概率公式求解即可求得答案.
【解答】解:画树状图得:

∵共有9种等可能的结果,这个两位数是偶数的有5种情况,
∴这个两位数是偶数的概率是:
故选:B.

9.若点A(﹣4,y1),B(﹣1,y2),C(1,y3)在抛物线y=﹣(x+2)2﹣1上,则(  )
A.y1<y3<y2     B.y2<y1<y3     C.y3<y2<y1     D.y3<y1<y2
【考点】二次函数图象上点的坐标特征.
【分析】分别把﹣4、﹣1、1代入解析式进行计算,比较即可.
【解答】解:y1=﹣(﹣4+2)2﹣1=﹣3,
y2=﹣(﹣1+2)2﹣1=﹣
y3=﹣(1+2)2﹣1=﹣
则y3<y1<y2,
故选:D.

10.如图,在▱ABCD中,AC与BD相交于点O,E为OD的中点,连接AE并延长交DC于点F,则S△DEF:S△AOB的值为(  )

A.1:3       B.1:5       C.1:6       D.1:11
【考点】相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质.
【分析】根据平行四边形的性质可知BO=DO,又因为E为OD的中点,所以DE:BE=1:3,根据相似三角形的性质可求出S△DEF:S△BAE.然后根据=,即可得到结论.
【解答】解:∵O为平行四边形ABCD对角线的交点,
∴DO=BO,
又∵E为OD的中点,
∴DE=DB,
∴DE:EB=1:3,
又∵AB∥DC,
∴△DFE∽△BAE,
=()2=
∴S△DEF=S△BAE,
=
∴S△AOB=S△BAE,
∴S△DEF:S△AOB==1:6,
故选C.


二、填空题(每小题3分,共15分)
11.计算:|﹣2|﹣= ﹣1 
【考点】算术平方根.
【分析】先算绝对值和算术平方根,再算减法即可求解.
【解答】解:|﹣2|﹣
=2﹣3
=﹣1.
故答案为:﹣1.

12.如图,若AB∥CD,∠C=60°,则∠A+∠E= 60 度.

【考点】平行线的性质;三角形的外角性质.
【分析】本题主要利用两直线平行,同位角相等和三角形的外角的性质进行做题.
【解答】解:∵AB∥CD,∴∠C与它的同位角相等,
根据三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和,
所以∠A+∠E=∠C=60度.
故填60.

13.如图,已知第一象限内的点A在反比例函数y=上,第二象限的点B在反比例函数y=上,且OA⊥OB,tanA=,则k的值为 ﹣ 

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征.
【分析】作AC⊥x轴于点C,作BD⊥x轴于点D,易证△OBD∽△AOC,则面积的比等于相似比的平方,即tanA的平方,然后根据反比例函数中比例系数k的几何意义即可求解.
【解答】解:作AC⊥x轴于点C,作BD⊥x轴于点D.
则∠BDO=∠ACO=90°,
则∠BOD+∠OBD=90°,
∵OA⊥OB,
∴∠BOD+∠AOC=90°,
∴∠BOD=∠AOC,
∴△OBD∽△AOC,
=()2=(tanA)2=
又∵S△AOC=×2=1,
∴S△OBD=
∴k=﹣
故答案为:﹣


14.如图,扇形OAB中,∠AOB=60°,扇形半径为4,点C在上,CD⊥OA,垂足为点D,当△OCD的面积最大时,图中阴影部分的面积为 4 

【考点】扇形面积的计算;二次函数的最值;勾股定理.
【分析】由OC=4,点C在上,CD⊥OA,求得DC==,运用S△OCD=OD•,求得OD=2时△OCD的面积最大,运用阴影部分的面积=扇形AOC的面积﹣△OCD的面积求解.
【解答】解:∵OC=4,点C在上,CD⊥OA,
∴DC==
∴S△OCD=OD•
=OD2•(16﹣OD2)=﹣OD4+4OD2=﹣(OD2﹣8)2+16
∴当OD2=8,即OD=2时△OCD的面积最大,
∴DC===2
∴∠COA=45°,

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15.如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=3,点E为射线BC上一动点,将△ABE沿AE折叠,得到△AB′E.若B′恰好落在射线CD上,则BE的长为 15 

【考点】翻折变换(折叠问题);矩形的性质.
【分析】如图1,根据折叠的性质得到AB′=AB=5,B′E=BE,根据勾股定理得到BE2=(3﹣BE)2+12,
于是得到BE=,如图2,根据折叠的性质得到AB′=AB=5,求得AB=BF=5,根据勾股定理得到CF=4根据相似三角形的性质列方程得到CE=12,即可得到结论.
【解答】解:如图1,∵将△ABE沿AE折叠,得到△AB′E,
∴AB′=AB=5,B′E=BE,∴CE=3﹣BE,∵AD=3,∴DB′=4,∴B′C=1,∵B′E2=CE2+B′C2,
∴BE2=(3﹣BE)2+12,
∴BE=
如图2,∵将△ABE沿AE折叠,得到△AB′E,
∴AB′=AB=5,
∵CD∥AB,
∴∠1=∠3,
∵∠1=∠2,
∴∠2=∠3,
∵AE垂直平分BB′,
∴AB=BF=5,
∴CF=4,
∵CF∥AB,
∴△CEF∽△ABE,

=
∴CE=12,∴BE=15,
综上所述:BE的长为:或15,
故答案为:或15.


 
三、解答题(本大题共8题,满分75分)
16.先化简,再求值:÷(1﹣),其中x=+2.
【考点】分式的化简求值.
【分析】先算括号里面的,再算除法,把x的值代入进行计算即可.
【解答】解:原式=÷
=
=
当x=+2时,原式===
 
17.为了解2016年初中毕业生毕业后的去向,某县教育局对部分初三学生进行了抽样调查,就初三学生的四种去向(A,读普通高中;B,读职业高中; C,直接进入社会就业; D,其它)进行数据统计,并绘制了两幅不完整的统计图(a)、(b).请根据图中信息解答下列问题:

(1)该县共调查了多少名初中毕业生?
(2)通过计算,将两幅统计图中不完整的部分补充完整;
(3)若该县2016年初三毕业生共有4500人,请估计该县今年的初三毕业生中准备读普通高中的学生人数.
【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图.
【分析】(1)根据A的人数与所占的百分比列式进行计算即可得解;
(2)求出B的人数,再求出C所占的百分比,然后补全统计图即可;
(3)用总人数乘以A所占的百分比40%,计算即可得解.
【解答】解:(1)40÷40%=100名,
则该县共调查了100名初中毕业生;

(2)B的人数:100×30%=30名,
C所占的百分比为:×100%=25%,
补全统计图如图;

(3)根据题意得:4500×40%=1800名,
答:今年的初三毕业生中准备读普通高中的学生人数是1800.

18.如图,已知⊙O的半径为1,AC是⊙O的直径,过点C作⊙O的切线BC,E是BC的中点,AB交⊙O于D点.
(1)直接写出ED和EC的数量关系: ED=EC 
(2)DE是⊙O的切线吗?若是,给出证明;若不是,说明理由;
(3)填空:当BC= 2 时,四边形AOED是平行四边形,同时以点O、D、E、C为顶点的四边形是 正方形 

【考点】切线的判定与性质;平行四边形的判定与性质.
【分析】(1)连结CD,如图,由圆周角定理得到∠ADC=90°,然后根据直角三角形斜边上的中线直线得到DE=CE=BE;
(2)连结OD,如图,利用切线性质得∠2+∠4=90°,再利用等腰三角形的性质得∠1=∠2,∠3=∠4,所以∠1+∠3=∠2+∠4=90°,于是根据切线的判定定理可判断DE是⊙O的切线;
(3)要判断四边形AOED是平行四边形,则DE=OA=1,所以BC=2,当BC=2时,△ACB为等腰直角三角形,则∠B=45°,又可判断△BCD为等腰直角三角形,于是得到DE⊥BC,DE=BC=1,所以四边形AOED是平行四边形;然后利用OD=OC=CE=DE=1,∠OCE=90°可判断四边形OCED为正方形.
【解答】解:(1)连结CD,如图,
∵AC是⊙O的直径,
∴∠ADC=90°,
∵E是BC的中点,
∴DE=CE=BE;
(2)DE是⊙O的切线.理由如下:
连结OD,如图,
∵BC为切线,
∴OC⊥BC,
∴∠OCB=90°,即∠2+∠4=90°,
∵OC=OD,ED=EC,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°,即∠ODB=90°,
∴OD⊥DE,
∴DE是⊙O的切线;
(3)当BC=2时,
∵CA=CB=2,
∴△ACB为等腰直角三角形,
∴∠B=45°,
∴△BCD为等腰直角三角形,
∴DE⊥BC,DE=BC=1,
∵OA=DE=1,AO∥DE,
∴四边形AOED是平行四边形;
∵OD=OC=CE=DE=1,∠OCE=90°,
∴四边形OCED为正方形.
故答案为ED=EC;2,正方形.


19.如图,一次函数y=kx+3的图象分别交x轴、y轴于点B、点C,与反比例函数y=的图象在第四象限的相交于点P,并且PA⊥y轴于点A,已知A (0,﹣6),且S△CAP=18.
(1)求上述一次函数与反比例函数的表达式;
(2)设Q是一次函数y=kx+3图象上的一点,且满足△OCQ的面积是△BCO面积的2倍,求出点Q的坐标.

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.
【分析】(1)由一次函数表达式可得出点C的坐标,结合A点坐标以及三角形的面积公式可得出AP的长度,从而得出点P的坐标,由点P的坐标结合待定系数法即可求出一次函数及反比例函数的表达式;
(2)设点Q的坐标为(m,﹣m+3).由一次函数的表达式可找出点B的坐标,结合等底三角形面积的性质可得出关于m的一元一次方程,解方程即可得出m的值,将其代入点Q的坐标中即可.
【解答】解:(1)令一次函数y=kx+3中的x=0,则y=3,
即点C的坐标为(0,3),
∴AC=3﹣(﹣6)=9.
∵S△CAP=AC•AP=18,
∴AP=4,
∵点A的坐标为(0,﹣6),
∴点P的坐标为(4,﹣6).
∵点P在一次函数y=kx+3的图象上,
∴﹣6=4k+3,解得:k=﹣
∵点P在反比例函数y=的图象上,
∴﹣6=,解得:n=﹣24.
∴一次函数的表达式为y=﹣x+3,反比例函数的表达式为y=﹣
(2)令一次函数y=﹣x+3中的y=0,则0=﹣x+3,
解得:x=
即点B的坐标为(,0).
设点Q的坐标为(m,﹣m+3).
∵△OCQ的面积是△BCO面积的2倍,
∴|m|=2×,解得:m=±
∴点Q的坐标为(﹣,9)或(,﹣3).

20.由于发生山体滑坡灾害,武警救援队火速赶往灾区救援,探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象.在废墟一侧地面上探测点A、B相距2米,探测线与该地面的夹角分别是30°和60°(如图所示),试确定生命所在点C的深度.(参考数据:≈1.414,,1.732,结果精确到0.1)

【考点】解直角三角形的应用.
【分析】根据锐角三角函数可以求得点C到地面的距离,从而可以解答本题.
【解答】解:如图所示,过点C作CD⊥AB,交AB的延长线于点D,
由题意可知,∠CAD=30°,∠CBD=60°,
设CD=x米,
则BD=,AD=
∵AB=2米,AD=AB+BD,
∴AD=2+BD,
∴2+=
解得,x≈1.7
即生命所在点C的深度是1.7米.

21.某批发市场有中招考试文具套装,其中A品牌的批发价是每套20元,B品牌的批发价是每套25元,小王需购买A、B两种品牌的文具套装共1000套.
(1)若小王按需购买A、B两种品牌文具套装共用22000元,则各购买多少套?
(2)凭会员卡在此批发市场购买商品可以获得8折优惠,会员卡费用为500元.若小王购买会员卡并用此卡按需购买1000套文具套装,共用了y元,设A品牌文具套装买了x包,请求出y与x之间的函数关系式.
(3)若小王购买会员卡并用此卡按需购买1000套文具套装,共用了20000元,他计划在网店包邮销售这两种文具套装,每套文具套装小王需支付邮费8元,若A品牌每套销售价格比B品牌少5元,请你帮他计算,A品牌的文具套装每套定价不低于多少元时才不亏本(运算结果取整数)?
【考点】一次函数的应用.
【分析】(1)设小王需购买A、B两种品牌文具套装分别为x套、y套,则,据此求出小王购买A、B两种品牌文具套装分别为多少套即可.
(2)根据题意,可得y=500+0.8×[20x+25],据此求出y与x之间的函数关系式即可.
(3)首先求出小王购买A、B两种品牌文具套装分别为多少套,然后设A品牌文具套装的售价为z元,则B品牌文具套装的售价为z+5元,所以125z+875(z+5)≥20000+8×1000,据此求出A品牌的文具套装每套定价不低于多少元时才不亏本即可.
【解答】解:(1)设小王够买A品牌文具x套,够买B品牌文具y套,
根据题意,得:
解得:
答:小王够买A品牌文具600套,够买B品牌文具400套.

(2)y=500+0.8[20x+25]
=500+0.8
=500+20000﹣4x
=﹣4x+20500,
∴y与x之间的函数关系式是:y=﹣4x+20500.

(3)根据题意,得:﹣4x+20500=20000,解得:x=125,
∴小王够买A品牌文具套装为125套、够买B品牌文具套装为875套,
设A品牌文具套装的售价为z元,则B品牌文具套装的售价为(z+5)元,
由题意得:125z+875(z+5)≥20000+8×1000,
解得:z≥23.625,
答:A品牌的文具套装每套定价不低于24元时才不亏本.

22.已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形,∠ACB=∠ADE=90°,点F为BE中点,连接DF、CF.
(1)如图1,当点D在AB上,点E在AC上,请直接写出此时线段DF、CF的数量关系和位置关系(不用证明);
(2)如图2,在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时,请你判断此时(1)中的结论是否仍然成立,并证明你的判断;
(3)如图3,在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°时,若AD=1,AC=,求此时线段CF的长(直接写出结果).

【考点】等腰直角三角形;全等三角形的判定与性质;勾股定理.
【分析】(1)根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知DF=BF,根据∠DFE=2∠DCF,∠BFE=2∠BCF,得到∠EFD+∠EFB=2∠DCB=90°,DF⊥BF.
(2)延长DF交BC于点G,先证明△DEF≌△GCF,得到DE=CG,DF=FG,根据AD=DE,AB=BC,得到BD=BG又因为∠ABC=90°,所以DF=CF且DF⊥BF.
(3)延长DF交BA于点H,先证明△DEF≌△HBF,得到DE=BH,DF=FH,根据旋转条件可以△ADH为直角三角形,由△ABC和△ADE是等腰直角三角形,AC=,可以求出AB的值,进而可以根据勾股定理可以求出DH,再求出DF,由DF=BF,求出得CF的值.
【解答】解:(1)∵∠ACB=∠ADE=90°,点F为BE中点,
∴DF=BE,CF=BE,
∴DF=CF.
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形,
∴∠ABC=45°
∵BF=DF,
∴∠DBF=∠BDF,
∵∠DFE=∠ABE+∠BDF,
∴∠DFE=2∠DBF,
同理得:∠CFE=2∠CBF,
∴∠EFD+∠EFC=2∠DBF+2∠CBF=2∠ABC=90°,
∴DF=CF,且DF⊥CF.
(2)(1)中的结论仍然成立.
证明:如图,此时点D落在AC上,延长DF交BC于点G.
∵∠ADE=∠ACB=90°,
∴DE∥BC.
∴∠DEF=∠GBF,∠EDF=∠BGF.
∵F为BE中点,
∴EF=BF.
∴△DEF≌△GBF.
∴DE=GB,DF=GF.
∵AD=DE,
∴AD=GB,
∵AC=BC,
∴AC﹣AD=BC﹣GB,
∴DC=GC.
∵∠ACB=90°,
∴△DCG是等腰直角三角形,
∵DF=GF.
∴DF=CF,DF⊥CF.
(3)延长DF交BA于点H,
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形,
∴AC=BC,AD=DE.
∴∠AED=∠ABC=45°,
∵由旋转可以得出,∠CAE=∠BAD=90°,
∵AE∥BC,
∴∠AEB=∠CBE,
∴∠DEF=∠HBF.
∵F是BE的中点,
∴EF=BF,
∴△DEF≌△HBF,
∴ED=HB,
∵AC=,在Rt△ABC中,由勾股定理,得
AB=4,
∵AD=1,
∴ED=BH=1,
∴AH=3,在Rt△HAD中由勾股定理,得
DH=
∴DF=
∴CF=
∴线段CF的长为




23.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)图象的顶点为D,其图象与x轴的交点A(﹣1,0)、B(3,0),与y轴负半轴交于点C.
(1)若△ABD为等腰直角三角形,求此时抛物线的解析式;
(2)a为何值时△ABC为等腰三角形?
(3)在(1)的条件下,抛物线与直线y=x﹣4交于M、N两点(点M在点N的左侧),动点P从M点出发,先到达抛物线的对称轴上的某点E,再到达x轴上的某点F,最后运动到点N,若使点P运动的总路径最短,求点P运动的总路径的长.

【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)由△ABD是等腰直角三角形确定出D(1,﹣2),用待定系数法确定出函数关系式;
(2)由△ABC为等腰三角形,利用勾股定理求出a即可;
(3)由于抛物线与直线y=x﹣4交于M、N两点,先求出M,N的坐标,利用对称性求出点G,H的坐标即可.
【解答】解:(1)如图1,

∵△ABD是等腰直角三角形,
∴过点D作直线l∥y轴,直线l与x轴交于点I.
∴AI=ID=IB=AB=2,
∴D(1,﹣2),
∴设y=a(x+1)(x﹣3)=ax2﹣2ax﹣3a,
∴a﹣2a﹣3a=﹣2,
∴a=
∴y=x2﹣x﹣
(2)∵△ABC为等腰三角形,
∴①AB=BC=4,
∴OC==
∴﹣3a=﹣
∴a=
②AB=AC=4,
∴OC==
∴C(0,﹣),
∴﹣3a=﹣
∴a=
(3)如图2,

∵抛物线与直线y=x﹣4交于M、N两点,


∴M(2,﹣),N(,﹣).
作点M关于对称轴l的对称点G,
点N关于x轴的对称点H,
连接GH交l于E,x轴于F,
∴EM=EH,FN=FH
∴点P运动的总路径为GH,
∵G(0,﹣),H(),
∴GH=


∴阴影部分的面积=扇形AOC的面积﹣△OCD的面积=×2×2=2π﹣4,
故答案为:2π﹣4.

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