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海南中考一模数学试卷及答案解析2017

2017-4-9 编辑:zyy 查看次数: 手机版
栏目:海南


中考在即,各位考生你们准备好了么?下面是小编给大家整理的2017年中考数学模拟试卷供大家参考。


 


2017年海南省中考数学一模试卷



一、选择题(本大题共16个小题,16小题,每小题2分;716小题,每小题2分,共42分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.在﹣1、0、1、2这四个数中,最小的数是(  )

A.﹣1  B.0      C.1      D.1

2.如图,a∥b,∠1=130°,则∠2=(  )



A.50°   B.130° C.70°   D.120°

3.有理数a、b在数轴上的对应的位置如图所示,则下列结论正确的是(  )



A.a+b>0   B.a﹣b=0   C.a+b<0   D.a﹣b>0

4.把不等式组的解集表示在数轴上,下列选项正确的是(  )

A.  B.  C.  D.

5.小红制作了十张卡片,上面分别标有0~9这十个数字.从这十张卡片中随机抽取一张恰好能被3整除的概率是(  )

A.     B.     C.     D.

6.如图,已知AC∥BD,∠CAE=30°,∠DBE=45°,则∠AEB等于(  )



A.30°   B.45°   C.60°   D.75°

7.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体是(  )



A.  B. C.       D.

8.若|a﹣1|+(b+3)2=0,则ba=(  )

A.﹣3  B.﹣1  C.3      D.1

9.如图,正方形ABCD的边长为5,点E是AB上一点,点F是AD延长线上一点,且BE=DF.四边形AEGF是矩形,则矩形AEGF的面积y与BE的长x之间的函数关系式为(  )



A.y=5﹣x   B.y=5﹣x2  C.y=25﹣x D.y=25﹣x2

10.如图,△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形,若点D恰好落在AB上,且∠AOC的度数为100°,则∠DOB的度数是(  )



A.40°   B.30°   C.38°   D.15°

11.如图,在平面直角坐标系中,以O为圆心,适当长为半径画弧,交x轴于点M,交y轴于点N,再分别以点M、N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧在第二象限交于点P.若点P的坐标为(2a,b+1),则a与b的数量关系为(  )



A.a=b  B.2a﹣b=1 C.2a+b=﹣1      D.2a+b=1

12.如图,长方形ABCD中,M为CD中点,分别以点B、M为圆心,以BC长、MC长为半径画弧,两弧相交于点P.若∠PMC=110°,则∠BPC的度数为(  )



A.35°   B.45°   C.55°   D.65°

13.一只盒子中有红球m个,白球8个,黑球n个,每个球除颜色外都相同,从中任取一个球,取得是白球的概率与不是白球的概率相同,那么m与n的关系是(  )

A.m+n=4    B.m+n=8    C.m=n=4    D.m=3,n=5

14.已知二次函数y=﹣x2+bx+c中,函数y与自变量x之间的部分对应值如表所示,点A(x1,y1),B(x2,y2)在函数的图象上,当0<x1<1,2<x2<3时,y1与y2的大小关系正确的是(  )























x

0

1

2

3

y

﹣1

2

3

2


A.y1>y2     B.y1≤y2     C.y1<y2     D.y1≥y2

15.如图,某数学兴趣小组将边长为6的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心,AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细),则所得的扇形DAB的面积为(  )



A.12    B.14    C.16    D.36

16.如图,放置的△OAB1,△B1A1B2,△B2A2B3,…都是边长为2的等边三角形,边AO在Y轴上,点B1、B2、B3…都在直线y=x上,则点A2016的坐标为(  )



A. B. C. D.



二、填空题(本大题共4小题,每小题3分,共12分)

17.﹣2的绝对值是  

18.已知P1(1,y1),P2(2,y2)是正比例函数y=x的图象上的两点,则y1  y2(填“>”或“<”或“=”).

19.线段AB的长为5,点A在平面直角坐标系中的坐标为(3,﹣2),点B的坐标为(3,x),则点B的坐标为  

20.如图,⊙O的半径是5,△ABC是⊙O的内接三角形,过圆心O,分别作AB、BC、AC的垂线,垂足分别为E、F、G,连接EF,若OG=3,则EF为  





三、解答题:(本大题共6小题,共66分,解答应写出文字说明,说理过程或演算步骤)

21.(1)计算:2﹣1﹣tan60°+(π﹣2015)0+|﹣|;

(2)解方程:x2﹣1=2(x+1).

22.如图,在△ABC和△DBC中,∠ACB=∠DBC=90°,E是BC的中点,DE⊥AB,垂足为点F,且AB=DE.

(1)求证:BD=BC;

(2)若BD=6cm,求AC的长.



23.为了解中考体育科目训练情况,某地从九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次考前体育科目测试,把测试结果分为四个等级:A级:优秀;B级:良好;C级:及格;D级:不及格,并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图.请根据统计图中的信息解答下列问题:

(1)请将两幅不完整的统计图补充完整;

(2)如果该地参加中考的学生将有4500名,根据测试情况请你估计不及格的人数有多少?

(3)从被抽测的学生中任选一名学生,则这名学生成绩是D级的概率是多少?



24.如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象相交于点A(﹣2,1),点B(1,n).

(1)求此一次函数和反比例函数的解析式;

(2)请直接写出满足不等式kx+b﹣<0的解集;

(3)在平面直角坐标系的第二象限内边长为1的正方形EFDG的边均平行于坐标轴,若点E(﹣a,a),如图,当曲线y=(x<0)与此正方形的边有交点时,求a的取值范围.



25.已知二次函数y1=x2+mx+n的图象经过点P(﹣3,1),对称轴是经过(﹣1,0)且平行于y轴的直线.

(1)求m,n的值.

(2)如图,一次函数y2=kx+b的图象经过点P,与x轴相交于点A,与二次函数的图象相交于另一点B,点B在点P的右侧,PA:PB=1:5,求一次函数的表达式.

(3)直接写出y1>y2时x的取值范围.



26.如图,已知直线l与⊙O相离,OA⊥l于点A,OA=5.OA与⊙O相交于点P,AB与⊙O相切于点B,BP的延长线交直线l于点C.

(1)试判断线段AB与AC的数量关系,并说明理由;

(2)若PC=2,求⊙O的半径和线段PB的长;

(3)若在⊙O上存在点Q,使△QAC是以AC为底边的等腰三角形,求⊙O的半径r的取值范围.






2017年中考数学一模试卷

参考答案与试题解析



一、选择题(本大题共16个小题,16小题,每小题2分;716小题,每小题2分,共42分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.在﹣1、0、1、2这四个数中,最小的数是(  )

A.﹣1  B.0      C.1      D.1

【考点】有理数大小比较.

【分析】有理数大小比较的法则:①正数都大于0;②负数都小于0;③正数大于一切负数;④两个负数,绝对值大的其值反而小,据此判断即可.

【解答】解:根据有理数比较大小的方法,可得

﹣1<0<1<2,

∴在﹣1、0、1、2这四个数中,最小的数是﹣1.

故选:A.



2.如图,a∥b,∠1=130°,则∠2=(  )



A.50°   B.130° C.70°   D.120°

【考点】平行线的性质.

【分析】根据平行线的性质得∠3=∠2,再根据对顶角相等得∠3=∠1=130°,于是∠2=130°.

【解答】解:∵a∥b,

∴∠3=∠2,

∵∠3=∠1=130°,

∴∠2=130°.

故选B.





3.有理数a、b在数轴上的对应的位置如图所示,则下列结论正确的是(  )



A.a+b>0   B.a﹣b=0   C.a+b<0   D.a﹣b>0

【考点】数轴.

【分析】根据图示,可得:a<﹣1,0<b<1,据此逐项判断即可.

【解答】解:∵a<﹣1,0<b<1,

∴a+b<0,

∴选项A不符合题意;


∵a<﹣1,0<b<1,

∴∴a﹣b<0

∴选项B不符合题意;


∵a<﹣1,0<b<1,

∴a+b<0,

∴选项C符合题意;


∵a<﹣1,0<b<1,

∴a﹣b<0,

∴选项D不符合题意.

故选:C.



4.把不等式组的解集表示在数轴上,下列选项正确的是(  )

A.  B.  C.  D.

【考点】在数轴上表示不等式的解集.

【分析】求得不等式组的解集为﹣1<x≤1,所以B是正确的.

【解答】解:由第一个不等式得:x>﹣1;

由x+2≤3得:x≤1.

∴不等式组的解集为﹣1<x≤1.

故选B.



5.小红制作了十张卡片,上面分别标有0~9这十个数字.从这十张卡片中随机抽取一张恰好能被3整除的概率是(  )

A.     B.     C.     D.

【考点】概率公式.

【分析】先求出0~9这十个数字中能被整除的数,再根据概率公式求解即可.

【解答】解:∵出0~9这十个数字中能被整除的数为:3,6,9三个数,

∴从这十张卡片中随机抽取一张恰好能被3整除的概率是:

故选A



6.如图,已知AC∥BD,∠CAE=30°,∠DBE=45°,则∠AEB等于(  )



A.30°   B.45°   C.60°   D.75°

【考点】平行线的性质.

【分析】过E作EF∥AC,然后根据平行线的传递性可得EF∥BD,再根据平行线的性质可得∠B=∠2=45°,∠1=∠A=30°,进而可得∠AEB的度数.

【解答】解:过E作EF∥AC,

∵AC∥BD,

∴EF∥BD,

∴∠B=∠2=45°,

∵AC∥EF,

∴∠1=∠A=30°,

∴∠AEB=30°+45°=75°,

故选:D.





7.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体是(  )



A.  B. C.       D.

【考点】由三视图判断几何体.

【分析】如图所示,根据三视图的知识可使用排除法来解答.

【解答】解:根据俯视图为三角形,主视图以及左视图都是矩形,可得这个几何体为三棱柱,

故答案为三棱柱.



8.若|a﹣1|+(b+3)2=0,则ba=(  )

A.﹣3  B.﹣1  C.3      D.1

【考点】非负数的性质:偶次方;非负数的性质:绝对值.

【分析】根据非负数的性质:几个非负数的和等于0,则每个数等于0,即可列出关于a和b的方程,求得a和b的值,进而求得代数式的值.

【解答】解:根据题意得a﹣1=0且b+3=0,

解得a=1,b=﹣3,

则原式=﹣3.

故选A.



9.如图,正方形ABCD的边长为5,点E是AB上一点,点F是AD延长线上一点,且BE=DF.四边形AEGF是矩形,则矩形AEGF的面积y与BE的长x之间的函数关系式为(  )



A.y=5﹣x   B.y=5﹣x2  C.y=25﹣x D.y=25﹣x2

【考点】根据实际问题列二次函数关系式.

【分析】设BE的长度为x(0≤x<5),则AE=5﹣x,AF=5+x,根据矩形的面积即可得出y关于x的函数关系式,此题得解.

【解答】解:设BE的长度为x(0≤x<5),则AE=5﹣x,AF=5+x,

∴y=AE•AF=(5﹣x)(5+x)=25﹣x2.

故选D.



10.如图,△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形,若点D恰好落在AB上,且∠AOC的度数为100°,则∠DOB的度数是(  )



A.40°   B.30°   C.38°   D.15°

【考点】旋转的性质.

【分析】根据旋转的性质求出∠AOD和∠BOC的度数,计算出∠DOB的度数.

【解答】解:由题意得,∠AOD=30°,∠BOC=30°,

又∠AOC=100°,

∴∠DOB=100°﹣30°﹣30°=40°,

故选:A.


11.如图,在平面直角坐标系中,以O为圆心,适当长为半径画弧,交x轴于点M,交y轴于点N,再分别以点M、N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧在第二象限交于点P.若点P的坐标为(2a,b+1),则a与b的数量关系为(  )



A.a=b  B.2a﹣b=1 C.2a+b=﹣1      D.2a+b=1

【考点】作图—基本作图;坐标与图形性质.

【分析】利用基本作图可判断点P在第二象限的角平分线上的,根据第二象限的角平分线上点的坐标特征得到2a+b+1=0.

【解答】解:由作法得OP为第二象限的角平分线,

所以2a+b+1=0,

即2a+b=﹣1.

故选C.

 

12.如图,长方形ABCD中,M为CD中点,分别以点B、M为圆心,以BC长、MC长为半径画弧,两弧相交于点P.若∠PMC=110°,则∠BPC的度数为(  )



A.35°   B.45°   C.55°   D.65°

【考点】矩形的性质;线段垂直平分线的性质.

【分析】根据三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等求出∠MCP,然后求出∠BCP,再根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理求解即可.

【解答】解:∵以B、M为圆心,分别以BC长、MC长为半径的两弧相交于P点,

∴BP=BC,MP=MC,

∵∠PMC=110°,

∴∠MCP===35°,

在长方形ABCD中,∠BCD=90°,

∴∠BCP=90°﹣∠MCP=90°﹣35°=55°,

∴∠BCP=∠BPC=55°.

故选C.

 

13.一只盒子中有红球m个,白球8个,黑球n个,每个球除颜色外都相同,从中任取一个球,取得是白球的概率与不是白球的概率相同,那么m与n的关系是(  )

A.m+n=4    B.m+n=8    C.m=n=4    D.m=3,n=5

【考点】概率公式.

【分析】由于每个球都有被摸到的可能性,故可利用概率公式求出摸到白球的概率与摸到的球不是白球的概率,列出等式,求出m、n的关系.

【解答】解:根据概率公式,摸出白球的概率为:

摸出不是白球的概率为:

由于二者相同,故有=

整理得,m+n=8.

故选:B.

 

14.已知二次函数y=﹣x2+bx+c中,函数y与自变量x之间的部分对应值如表所示,点A(x1,y1),B(x2,y2)在函数的图象上,当0<x1<1,2<x2<3时,y1与y2的大小关系正确的是(  )























x

0

1

2

3

y

﹣1

2

3

2


A.y1>y2     B.y1≤y2     C.y1<y2     D.y1≥y2

【考点】二次函数图象上点的坐标特征.

【分析】根据表格数据判断出对称轴为直线x=2,再根据二次项系数小于0判断出函数图象开口向下,然后根据x的取值范围写出大小关系即可.

【解答】解:由表可知,抛物线的对称轴为直线x=2,

∵a=﹣1<0,

∴函数图象开口向下,

∵0<x1<1,2<x2<3,

∴y1<y2.

故选C.



15.如图,某数学兴趣小组将边长为6的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心,AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细),则所得的扇形DAB的面积为(  )



A.12    B.14    C.16    D.36

【考点】扇形面积的计算.

【分析】由正方形的边长为6,可得的长度为12,然后利用扇形的面积公式:S扇形DAB=lr,计算即可.

【解答】解:∵正方形的边长为6,

的长度=12,

∴S扇形DAB=lr=×12×6=36.

故选D.



16.如图,放置的△OAB1,△B1A1B2,△B2A2B3,…都是边长为2的等边三角形,边AO在Y轴上,点B1、B2、B3…都在直线y=x上,则点A2016的坐标为(  )



A. B. C. D.

【考点】一次函数图象上点的坐标特征;规律型:点的坐标.

【分析】过B1作B1C⊥x轴,垂足为C,由条件可求得∠B1OC=30°,利用直角三角形的性质可求得B1C=1,OC=,可求得B1的坐标,同理可求得B2、B3的坐标,则可得出规律,可求得B2016的坐标.

【解答】解:如图,过B1作B1C⊥x轴,垂足为C,

∵△OAB1是等边三角形,且边长为2,

∴∠AOB1=60°,OB1=2,

∴∠B1OC=30°,

在RtB1OC中,可得B1C=1,OC=

∴B1的坐标为(,1),

同理B2(2,2)、B3(3,3),

∴Bn的坐标为(n,n),

∴B2016的坐标为,

∴A2016的坐标为,

故选A.





二、填空题(本大题共4小题,每小题3分,共12分)

17.﹣2的绝对值是 2 

【考点】实数的性质.

【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答.

【解答】解:﹣2的绝对值是2﹣

即|﹣2|=2﹣

故答案为:2﹣



18.已知P1(1,y1),P2(2,y2)是正比例函数y=x的图象上的两点,则y1  y2(填“>”或“<”或“=”).

【考点】一次函数图象上点的坐标特征.

【分析】分别计算自变量为1和2所对应的函数值,然后比较函数值的大小即可.

【解答】解:当x=1时,y1=x=1;当x=2时,y2=x=2,

所以y1<y2.

故答案为<.



19.线段AB的长为5,点A在平面直角坐标系中的坐标为(3,﹣2),点B的坐标为(3,x),则点B的坐标为 (33)或(3,﹣7) 

【考点】坐标与图形性质;含绝对值符号的一元一次方程.

【分析】由线段AB的长度结合点A、B的坐标即可得出关于x的含绝对值符号的一元一次方程,解之即可得出x值,由此即可得出点B的坐标.

【解答】解:∵线段AB的长为5,A(3,﹣2),B(3,x),

∴|﹣2﹣x|=5,

解得:x1=3,x2=﹣7,

∴点B的坐标为(3,3)或(3,﹣7).

故答案为:(3,3)或(3,﹣7).



20.如图,⊙O的半径是5,△ABC是⊙O的内接三角形,过圆心O,分别作AB、BC、AC的垂线,垂足分别为E、F、G,连接EF,若OG=3,则EF为 4 



【考点】三角形的外接圆与外心.

【分析】连接OA,根据勾股定理和垂径定理求出AC,根据三角形中位线定理求出EF.

【解答】解:连接OA,

∵OG⊥AC,

∴∠OGA=90°,AC=2AG,

∴AG==4,

∴AC=2AG=8,

∵OE⊥AB,OF⊥BC,

∴AE=EB,CF=FB,

∴EF=AC=4,

故答案为:4.





三、解答题:(本大题共6小题,共66分,解答应写出文字说明,说理过程或演算步骤)

21.(1)计算:2﹣1﹣tan60°+(π﹣2015)0+|﹣|;

(2)解方程:x2﹣1=2(x+1).

【考点】实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;解一元二次方程﹣因式分解法;特殊角的三角函数值.

【分析】(1)原式第一项利用负整数指数幂法则计算,第二项利用特殊角的三角函数值计算,第三项利用零指数幂法则计算,最后一项利用绝对值的代数意义化简,计算即可得到结果;

(2)方程整理后,利用因式分解法求出解即可.

【解答】解:(1)原式=×+1+=﹣1;

(2)方程整理得:x2﹣2x﹣3=0,即(x﹣3)(x+1)=0,

解得:x1=﹣1,x2=3.



22.如图,在△ABC和△DBC中,∠ACB=∠DBC=90°,E是BC的中点,DE⊥AB,垂足为点F,且AB=DE.

(1)求证:BD=BC;

(2)若BD=6cm,求AC的长.



【考点】全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.

【分析】(1)欲证明BD=BC,只要证明△ABC≌△EDB即可.

(2)由E是BC中点,BD=6cm,BD=BC,推出BE=BC=BD=3cm,由△ABC≌△EDB,得到AC=BE,即可解决问题.

【解答】(1)证明:∵DE⊥AB,

∴∠BFE=90°,

∴∠ABC+∠DEB=90°,

∵∠ACB=90°,

∴∠ABC+∠A=90°,

∴∠A=∠DEB,

在△ABC和△EDB中,



∴△ABC≌△EDB,

∴BD=BC.


(2)解:∵E是BC中点,BD=6cm,BD=BC,

∴BE=BC=BD=3cm,

∵△ABC≌△EDB,

∴AC=BE=3cm.



23.为了解中考体育科目训练情况,某地从九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次考前体育科目测试,把测试结果分为四个等级:A级:优秀;B级:良好;C级:及格;D级:不及格,并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图.请根据统计图中的信息解答下列问题:

(1)请将两幅不完整的统计图补充完整;

(2)如果该地参加中考的学生将有4500名,根据测试情况请你估计不及格的人数有多少?

(3)从被抽测的学生中任选一名学生,则这名学生成绩是D级的概率是多少?



【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图;概率公式.

【分析】(1)首先根据题意求得总人数,继而求得A级与D级占的百分比,求得C级与D级的人数;则可补全统计图;

(2)根据题意可得:估计不及格的人数有:4500×20%=900(人);

(3)由概率公式的定义,即可求得这名学生成绩是D级的概率.

【解答】解:(1)总人数为:12÷30%=40(人),

A级占:×100%=15%,D级占:1﹣35%﹣30%﹣15%=20%;

C级人数:40×35%=14(人),D级人数:40×20%=8(人),

补全统计图得:


(2)估计不及格的人数有:4500×20%=900(人);


(3)从被抽测的学生中任选一名学生,则这名学生成绩是D级的概率是:20%.



24.如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象相交于点A(﹣2,1),点B(1,n).

(1)求此一次函数和反比例函数的解析式;

(2)请直接写出满足不等式kx+b﹣<0的解集;

(3)在平面直角坐标系的第二象限内边长为1的正方形EFDG的边均平行于坐标轴,若点E(﹣a,a),如图,当曲线y=(x<0)与此正方形的边有交点时,求a的取值范围.



【考点】反比例函数综合题;反比例函数图象上点的坐标特征;反比例函数与一次函数的交点问题;正方形的性质.

【分析】(1)由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数系数m,从而得出反比例函数解析式;由点B在反比例函数图象上,即可求出点B的坐标,再由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式;

(2)根据两函数图象的上下关系结合交点坐标,即可得出不等式的解集;

(3)过点O、E作直线OE,求出直线OE的解析式,根据正方形的性质找出点D的坐标,并验证点D在直线OE上,再将直线OE的解析式代入到反比例函数解析式中,求出交点坐标横坐标,结合函数图象以及点D、E的坐标即可得出关于a的一元一次不等式,解不等式即可得出结论.

【解答】解:(1)∵点A(﹣2,1)在反比例函数y=的图象上,

∴m=﹣2×1=﹣2,

∴反比例函数解析式为y=﹣

∵点B(1,n)在反比例函数y=﹣的图象上,

∴﹣2=n,即点B的坐标为(1,﹣2).

将点A(﹣2,1)、点B(1,﹣2)代入y=kx+b中得:

,解得:

∴一次函数的解析式为y=﹣x﹣1.

(2)不等式﹣x﹣1﹣(﹣)<0可变形为:﹣x﹣1<﹣

观察两函数图象,发现:

当﹣2<x<0或x>1时,一次函数图象在反比例图象下方,

∴满足不等式kx+b﹣<0的解集为﹣2<x<0或x>1.

(3)过点O、E作直线OE,如图所示.



∵点E的坐标为(﹣a,a),

∴直线OE的解析式为y=﹣x.

∵四边形EFDG是边长为1的正方形,且各边均平行于坐标轴,

∴点D的坐标为(﹣a+1,a﹣1),

∵a﹣1=﹣(﹣a+1),

∴点D在直线OE上.

将y=﹣x代入y=﹣(x<0)得:

﹣x=﹣,即x2=2,

解得:x=﹣,或x=(舍去).

∵曲线y=﹣(x<0)与此正方形的边有交点,

∴﹣a≤﹣≤﹣a+1,

解得:≤a≤+1.

故当曲线y=(x<0)与此正方形的边有交点时,a的取值范围为≤a≤+1.



25.已知二次函数y1=x2+mx+n的图象经过点P(﹣3,1),对称轴是经过(﹣1,0)且平行于y轴的直线.

(1)求m,n的值.

(2)如图,一次函数y2=kx+b的图象经过点P,与x轴相交于点A,与二次函数的图象相交于另一点B,点B在点P的右侧,PA:PB=1:5,求一次函数的表达式.

(3)直接写出y1>y2时x的取值范围.



【考点】二次函数与不等式(组);待定系数法求一次函数解析式;抛物线与x轴的交点.

【分析】(1)利用对称轴公式求得m,把P(﹣3,1)代入二次函数y=x2+mx+n得出n=3m﹣8,进而就可求得n;

(2)根据(1)得出二次函数的解析式,根据已知条件,利用平行线分线段成比例定理求得B的纵坐标,代入二次函数的解析式中求得B的坐标,然后利用待定系数法就可求得一次函数的表达式;

(3)结合图形解答即可.

【解答】解:∵对称轴是经过(﹣1,0)且平行于y轴的直线,

∴﹣=﹣1,

∴m=2,

∵二次函数y=x2+mx+n的图象经过点P(﹣3,1),

∴9﹣3m+n=1,

∴n=3m﹣8=﹣2;

(2)∵m=2,n=﹣2,

∴二次函数为y=x2+2x﹣2,

作PC⊥x轴于C,BD⊥x轴于D,则PC∥BD,

=

∵P(﹣3,1),

∴PC=1,

∵PA:PB=1:5,

∴PA:AB=1:6,

∴BD=6,

∴B的纵坐标为6,

代入二次函数为y=x2+2x﹣2得,6=x2+2x﹣2,

解得x1=2,x2=﹣4(舍去),

∴B(2,6),



解得,

∴一次函数的表达式为y2=x+4;

(3)由图象可知,当x<﹣3或x>2时,y1>y2.





26.如图,已知直线l与⊙O相离,OA⊥l于点A,OA=5.OA与⊙O相交于点P,AB与⊙O相切于点B,BP的延长线交直线l于点C.

(1)试判断线段AB与AC的数量关系,并说明理由;

(2)若PC=2,求⊙O的半径和线段PB的长;

(3)若在⊙O上存在点Q,使△QAC是以AC为底边的等腰三角形,求⊙O的半径r的取值范围.



【考点】切线的性质;等腰三角形的性质;勾股定理;直线与圆的位置关系;相似三角形的判定与性质.

【分析】(1)连接OB,根据切线的性质和垂直得出∠OBA=∠OAC=90°,推出∠OBP+∠ABP=90°,∠ACP+∠CPA=90°,求出∠ACP=∠ABC,根据等腰三角形的判定推出即可;

(2)延长AP交⊙O于D,连接BD,设圆半径为r,则OP=OB=r,PA=5﹣r,根据AB=AC推出52﹣r2=﹣(5﹣r)2,求出r,证△DPB∽△CPA,得出=,代入求出即可;

(3)根据已知得出Q在AC的垂直平分线上,作出线段AC的垂直平分线MN,作OE⊥MN,求出OE<r,求出r范围,再根据相离得出r<5,即可得出答案.

【解答】解:(1)AB=AC,理由如下:

连接OB.

∵AB切⊙O于B,OA⊥AC,

∴∠OBA=∠OAC=90°,

∴∠OBP+∠ABP=90°,∠ACP+∠APC=90°,

∵OP=OB,

∴∠OBP=∠OPB,

∵∠OPB=∠APC,

∴∠ACP=∠ABC,

∴AB=AC;


(2)延长AP交⊙O于D,连接BD,

设圆半径为r,则OP=OB=r,PA=5﹣r,

则AB2=OA2﹣OB2=52﹣r2,

AC2=PC2﹣PA2=﹣(5﹣r)2,

∴52﹣r2=﹣(5﹣r)2,

解得:r=3,

∴AB=AC=4,

∵PD是直径,

∴∠PBD=90°=∠PAC,

又∵∠DPB=∠CPA,

∴△DPB∽△CPA,

=

=

解得:PB=

∴⊙O的半径为3,线段PB的长为


(3)作出线段AC的垂直平分线MN,作OE⊥MN,则可以推出OE=AC=AB=

又∵圆O与直线MN有交点,

∴OE=≤r,

≤2r,

25﹣r2≤4r2,

r2≥5,

∴r≥

又∵圆O与直线相离,

∴r<5,

≤r<5.






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