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(2016莱芜)24.如图,在平面直角坐标系中,…

2017-1-19 编辑:djw 查看次数: 手机版
试题内容:
(2016莱芜)24.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(5,0),B(﹣1,0)两点,与y轴交于点C(0,17教育网:www.17jiaoyu.com ).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线上是否存在点P,使得△ACP是以点A为直角顶点的直角三角形?若存在,求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)点G为抛物线上的一动点,过点G作GE垂直于y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作x轴的垂线,垂足为点F,连接EF,当线段EF的长度最短时,求出点G的坐标.
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考点分析:
答案解析:
【答案】(1)、y=17教育网:www.17jiaoyu.com ;(2)、(-5,-20);(3)、(2﹣17教育网:www.17jiaoyu.com ,2)或(2+17教育网:www.17jiaoyu.com ,2)
【解析】
17教育网:www.17jiaoyu.com 试题解析:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(5,0),B(﹣1,0)两点,与y轴交于点C(0,17教育网:www.17jiaoyu.com ),
∴设抛物线的解析式是y=a(x﹣5)(x+1)1), 则17教育网:www.17jiaoyu.com =a×(﹣5)×1,解得a=﹣17教育网:www.17jiaoyu.com .
则抛物线的解析式是y=﹣17教育网:www.17jiaoyu.com (x﹣5)(x+1)=﹣17教育网:www.17jiaoyu.com x2+2x+17教育网:www.17jiaoyu.com
(2)、存在. 当点A为直角顶点时,
过A作AP⊥AC交抛物线于点P,交y轴于点H,如图. ∵AC⊥AP,OC⊥OA, ∴△OAC∽△OHA,
17教育网:www.17jiaoyu.com , ∴OA2=OCOH, ∵OA=5,OC=17教育网:www.17jiaoyu.com , ∴OH=10, ∴H(0,﹣10),A(5,0),
∴直线AP的解析式为y=2x﹣10, 联立17教育网:www.17jiaoyu.com , ∴P的坐标是(﹣5,﹣20).
(3)、∵DF⊥x轴,DE⊥y轴, ∴四边形OFDE为矩形, ∴EF=OD,
∴EF长度的最小值为OD长度的最小值, 当OD⊥AC时,OD长度最小,
此时S△AOC=17教育网:www.17jiaoyu.com ACOD=17教育网:www.17jiaoyu.com OAOC, ∵A(5,0),C(0,17教育网:www.17jiaoyu.com ), ∴AC=17教育网:www.17jiaoyu.com , ∴OD=17教育网:www.17jiaoyu.com
∵DE⊥y轴,OD⊥AC, ∴△ODE∽△OCD, ∴17教育网:www.17jiaoyu.com , ∴OD2=OECO,
∵CO=17教育网:www.17jiaoyu.com ,OD=17教育网:www.17jiaoyu.com , ∴OE=2, ∴点G的纵坐标为2, ∴y=﹣17教育网:www.17jiaoyu.com x2+2x+17教育网:www.17jiaoyu.com =2,
解得x1=2﹣17教育网:www.17jiaoyu.com ,x2=2+17教育网:www.17jiaoyu.com , ∴点G的坐标为(2﹣17教育网:www.17jiaoyu.com ,2)或(2+17教育网:www.17jiaoyu.com ,2).
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考点:二次函数综合题.    

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