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2017学年重庆高考数学试卷(理科)

2017-3-31 编辑:zyy 查看次数: 手机版


一、选择题(本大题共12小题,每小题5分)
1.设U=R,集合A={x∈R|},B={x∈R|0<x<2},则(∁UA)∩B=(  )
A.(1,2]   B.[1,2) C.(1,2) D.[1,2]
2.下列说法中正确的是(  )
A.“f(0)=0”是“函数f(x)是奇函数”的充要条件
B.“若,则”的否命题是“若,则
C.若,则¬p:∀x∈R,x2﹣x﹣1<0
D.若p∧q为假命题,则p,q均为假命题
3.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是3,则正视图中的x的值是(  )

A.     B.2      C.     D.3
4.已知α为第二象限角,且,则tan(π+α)的值是(  )
A.     B.     C.  D.
5.已知为单位向量,且垂直,则的夹角为(  )
A.30°   B.60°   C.120° D.150°
6.设x,y满足约束条件,若z=ax+y的最大值为3a+9,最小值为3a﹣3,则a的取值范围是(  )
A.a≤﹣1   B.a≥1       C.﹣1≤a≤1    D.a≥1或a≤﹣1
7.若f(x)为偶函数,且当x∈[0,+∞)时,f(x)=,则不等式f(x﹣1)<1的解集为(  )
A.{x|0<x<2}       B.{x|﹣1<x<1}   C.{x|0<x<1}       D.{x|﹣2<x<2}
8.已知M(a,b)是圆O:x2+y2=r2内不在坐标轴上的一点,直线l的方程为ax+by=r2,直线m被圆O所截得的弦的中点为M,则下列说法中正确的是(  )
A.m∥l且l与圆O相交      B.m⊥l且l与圆O相切
C.m∥l且l与圆O相离      D.m⊥l且l与圆O相离
9.如图,将绘有函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,<φ<π)部分图象的纸片沿x轴折成直二面角,若AB之间的空间距离为,则f(﹣1)=(  )

A.﹣2  B.2      C.       D.
10.如图所示,点P从点A处出发,按逆时针方向沿边长为a的正三角形ABC运动一周,O为ABC的中心,设点P走过的路程为x,△OAP的面积为f(x)(当A、O、P三点共线时,记面积为0),则函数f(x)的图象大致为(  )

A. B.       C.       D.
11.定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),已知xf'(x)+f(x)<﹣f'(x),f(2)=,则不等式f(ex﹣2)﹣<0(其中e为自然对数的底数)的解集为(  )
A.(0,ln4)     B.(﹣∞,0)∪(ln4,+∞)   C.(ln4,+∞) D.(2,+∞)
12.若直线l1:y=x,l2:y=x+2与圆C:x2+y2﹣2mx﹣2ny=0的四个交点把圆C分成的四条弧长相等,则m=(  )
A.0或1     B.0或﹣1  C.1或﹣1  D.0

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分)
13. e﹣xdx=  
14.《九章算术》商功章有题:一圆柱形谷仓,高1丈3尺,容纳米1950斛(1丈=10尺,斛为容积单位,1斛≈1.62立方尺,π≈3),则圆柱底面周长约为  尺.
15.已知点A,B,C均在球O的表面上,∠BAC=,球O到平面ABC的距离为3,则球O的表面积为  
16.将(n≥4)个正实数排成如图所示n行n列的三角形数阵(如图):其中每一列的数成等比数列,并且所有的公比相等,从第三行起每一行的数成等差数列.已知a22=,则a11+a22+…+ann=  


三、解答题(本大题共6小题,满分70分,第17题为10分外其余均为12分)
17.已知数列{an}满足a1=511,4an=an﹣1﹣3(n≥2).
(1)求证:(an+1)是等比数列;
(2)令bn=|log2(an+1)|,求{bn}的前n项和Sn.
18.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c.已知a+c=3,b=3.
(I)求cosB的最小值;
(Ⅱ)若=3,求A的大小.
19.如图,直角三角形ABC中,∠A=60°,∠ABC=90°,AB=2,E为线段BC上一点,且BE=BC,沿AC边上的中线BD将△ABD折起到△PBD的位置.
(1)求证:PE⊥BD;
(2)当平面PBD⊥平面BCD时,求二面角C﹣PB﹣D的余弦值.

20.在直角坐标系xOy中,以O为圆心的圆与直线:x﹣y=4相切
(1)求圆O的方程
(2)圆O与x轴相交于A、B两点,圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列,求的取值范围.
21.如图,四边形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠ABC=60°,AB=2CB=4,在梯形ACEF中,EF∥AC,且AC=2EF,EC⊥平面ABCD.
(1)求证:面FEB⊥面CEB;
(2)若二面角D﹣AF﹣C的大小为,求几何体ABCDEF的体积.

22.已知函数f(x)=xlnx﹣x2﹣x+a(a∈R)在其定义域内有两个不同的极值点.
(Ⅰ)求a的取值范围;
(Ⅱ)记两个极值点分别为x1,x2,且x1<x2.已知λ>0,若不等式e1+λ<x1•x2λ恒成立,求λ的范围.


参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分)
1.设U=R,集合A={x∈R|},B={x∈R|0<x<2},则(∁UA)∩B=(  )
A.(1,2]   B.[1,2) C.(1,2) D.[1,2]
【考点】交、并、补集的混合运算.
【分析】化简集合A、B,求出(∁UA)∩B即可.
【解答】解:∵U=R,
集合A={x∈R|}={x∈R|x<1或x>2}=(﹣∞,1)∪(2,+∞),
∴∁UA=[1,2];
集合B={x∈R|0<x<2}=(0,2),
∴(∁UA)∩B=[1,2).
故选:B.

2.下列说法中正确的是(  )
A.“f(0)=0”是“函数f(x)是奇函数”的充要条件
B.“若,则”的否命题是“若,则
C.若,则¬p:∀x∈R,x2﹣x﹣1<0
D.若p∧q为假命题,则p,q均为假命题
【考点】命题的真假判断与应用;四种命题.
【分析】A.根据充分条件和必要条件的定义进行判断
B.根据否命题的定义进行判断
C.根据含有量词的命题的否定进行判断
D.根据复合命题之间的关系进行判断
【解答】解:A.若f(x)=x2,满足f(0)=0,但函数f(x)不是奇函数,若f(x)=,满足函数f(x)是奇函数,但f(0)不存在,即“f(0)=0”是“函数f(x)是奇函数”的既不充分也不必要条件,故A错误,
B.“若,则”的否命题是“若,则,正确,故B正确,
C.命题的否定¬p:∀x∈R,x2﹣x﹣1≤0,故C错误,
D.若p∧q为假命题,则p,q至少有一个为假命题,故D错误,
故选:B

3.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是3,则正视图中的x的值是(  )

A.     B.2      C.     D.3
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】根据三视图判断几何体为四棱锥,再利用体积公式求高x即可.
【解答】解:根据三视图判断几何体为四棱锥,其直观图是:
V==3⇒x=3.
故选D.


4.已知α为第二象限角,且,则tan(π+α)的值是(  )
A.     B.     C.  D.
【考点】诱导公式的作用;同角三角函数间的基本关系.
【分析】由α为第二象限角,根据sinα的值,利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值,进而求出tanα的值,原式利用诱导公式化简,将tanα的值代入计算即可求出值.
【解答】解:∵α为第二象限角,sinα=
∴cosα=﹣=﹣
∴tanα==﹣
则tan(π+α)=tanα=﹣
故选D

5.已知为单位向量,且垂直,则的夹角为(  )
A.30°   B.60°   C.120° D.150°
【考点】数量积表示两个向量的夹角.
【分析】根据平面向量的数量积与夹角公式,即可求出对应的结果.
【解答】解:设的夹角为θ,
为单位向量,且垂直,
•(+2)=+2=12+2×1×1×cosθ=0,
解得cosθ=﹣
又θ∈[0°,120°],
的夹角为θ=120°.
故选:C.

6.设x,y满足约束条件,若z=ax+y的最大值为3a+9,最小值为3a﹣3,则a的取值范围是(  )
A.a≤﹣1   B.a≥1       C.﹣1≤a≤1    D.a≥1或a≤﹣1
【考点】简单线性规划.
【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,对a分类讨论得到最优解,求得最优解的坐标,代入目标函数,求出满足最大值为3a+9,最小值为3a﹣3的a的取值范围.
【解答】解:由约束条件作出可行域如图,

联立,解得A(3,﹣3),
联立,解得B(3,9),
联立,解得C(﹣3,3).
化目标函数z=ax+y为y=﹣ax+z,
由图可知,当﹣1≤﹣a≤1,即﹣1≤a≤1时,直线y=﹣ax+z过A点直线在y轴上的截距最小,z有最小值为3a﹣3;
直线y=﹣ax+z过B点直线在y轴上的截距最大,z有最大值为3a+9.
当a>1时,直线y=﹣ax+z过C点直线在y轴上的截距最大,z有最大值为﹣3a+3,不合题意,
当a<﹣1时,直线y=﹣ax+z过C点直线在y轴上的截距最小,z有最小值为﹣3a+3,不合题意.
综上,a的取值范围是﹣1≤a≤1.
故选:C.

7.若f(x)为偶函数,且当x∈[0,+∞)时,f(x)=,则不等式f(x﹣1)<1的解集为(  )
A.{x|0<x<2}       B.{x|﹣1<x<1}   C.{x|0<x<1}       D.{x|﹣2<x<2}
【考点】其他不等式的解法.
【分析】由条件利用函数的单调性以及图象的对称性可得﹣1<x﹣1<1,由此求得x的范围.
【解答】解:∵f(x)为偶函数,且当x∈[0,+∞)时,f(x)=
故f(x)在[0,+∞)上单调递增,在(﹣∞,0]上单调递减.
则由不等式f(x﹣1)<1,结合函数的单调性可得|x﹣1|<1,即﹣1<x﹣1<1,求得0<x<2,
故选:A.

8.已知M(a,b)是圆O:x2+y2=r2内不在坐标轴上的一点,直线l的方程为ax+by=r2,直线m被圆O所截得的弦的中点为M,则下列说法中正确的是(  )
A.m∥l且l与圆O相交      B.m⊥l且l与圆O相切
C.m∥l且l与圆O相离      D.m⊥l且l与圆O相离
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】求圆心到直线的距离,然后与a2+b2<r2比较,可以判断直线与圆的位置关系,易得两直线的关系.
【解答】解:以点M为中点的弦所在的直线的斜率是﹣,直线m∥l,点M(a,b)是圆x2+y2=r2内一点,所以a2+b2<r2,圆心到ax+by=r2,距离是>r,故相离.
故选:C.

9.如图,将绘有函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,<φ<π)部分图象的纸片沿x轴折成直二面角,若AB之间的空间距离为,则f(﹣1)=(  )

A.﹣2  B.2      C.       D.
【考点】点、线、面间的距离计算.
【分析】根据图象过点(0,1),结合φ的范围求得φ的值,再根据A、B两点之间的距离为=,求得T的值,可得ω的值,从而求得函数的解析式,从而求得f(﹣1)的值.
【解答】解:由函数的图象可得2sinφ=1,可得sinφ=,再根据<φ<π,可得φ=
再根据A、B两点之间的距离为=,求得T=6,
再根据T==6,求得ω=
∴f(x)=2sin(x+),f(﹣1)=2sin(﹣+)=2,
故选:B.

10.如图所示,点P从点A处出发,按逆时针方向沿边长为a的正三角形ABC运动一周,O为ABC的中心,设点P走过的路程为x,△OAP的面积为f(x)(当A、O、P三点共线时,记面积为0),则函数f(x)的图象大致为(  )

A. B.       C.       D.
【考点】函数的图象.
【分析】由三角形的面积公式,结合图象可知需分类讨论求面积,从而利用数形结合的思想方法求得.
【解答】解:由三角形的面积公式知,
当0≤x≤a时,
f(x)=•x•a=ax,
故在[0,a]上的图象为线段,
故排除B;
当a<x≤a时,
f(x)=•(a﹣x)•a=a(a﹣x),
故在(a, a]上的图象为线段,
故排除C,D;
故选A.

11.定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),已知xf'(x)+f(x)<﹣f'(x),f(2)=,则不等式f(ex﹣2)﹣<0(其中e为自然对数的底数)的解集为(  )
A.(0,ln4)     B.(﹣∞,0)∪(ln4,+∞)   C.(ln4,+∞) D.(2,+∞)
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】根据条件构造函数g(x)=(x+1)f(x),求函数的导数,研究函数的单调性,将不等式进行转化求解即可.
【解答】解:由xf'(x)+f(x)<﹣f'(x),得xf'(x)+f(x)+f′(x)<0,
即(x+1)f'(x)+f(x)<0,
设g(x)=(x+1)f(x),
则g′(x)=f(x)+(x+1)f'(x)<0,
即g(x)为减函数,
∵f(2)=,∴g(2)=3f(2)=3×=1,
则不等式f(ex﹣2)﹣<0等价为,
当x>0时,ex﹣1>0,则不等式等价为(ex﹣1)f(ex﹣2)﹣1<0,即(ex﹣2+1)f(ex﹣2)<1,
即g(ex﹣2)<g(2),
则ex﹣2>2,则ex>4,则x>ln4,
当x<0时,ex﹣1<0,则不等式等价为(ex﹣1)f(ex﹣2)﹣1>0,即(ex﹣2+1)f(ex﹣2)>1,
即g(ex﹣2)>g(2),
则ex﹣2<2,则ex>4,则x<ln4,
∵x<0,
∴此时不等式的解为x<0,
综上不等式的解为x<0或x>ln4,
即不等式的解集为(﹣∞,0)∪(ln4,+∞),
故选:B

12.若直线l1:y=x,l2:y=x+2与圆C:x2+y2﹣2mx﹣2ny=0的四个交点把圆C分成的四条弧长相等,则m=(  )
A.0或1     B.0或﹣1  C.1或﹣1  D.0
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】直线l1∥l2,且l1、l2把⊙C分成的四条弧长相等,⊙C可化为(x﹣m)2+(y﹣n)2=m2+n2,当m=0,n=1时及当m=﹣1,n=0时,满足条件.
【解答】解:∵l1:y=x,l2:y=x+2与圆C:x2+y2﹣2mx﹣2ny=0
∴直线l1∥l2,且l1、l2把⊙C分成的四条弧长相等,
画出图形,如图所示.

又⊙C可化为(x﹣m)2+(y﹣n)2=m2+n2,
当m=0,n=1时,圆心为(0,1),半径r=1,
此时l1、l2与⊙C的四个交点(0,0),(1,1),(0,2),(﹣1,1)把⊙C分成的四条弧长相等;
当m=﹣1,n=0时,圆心为(﹣1,0),半径r=1,
此时l1、l2与⊙C的四个交点(0,0),(﹣1,1),(﹣2,0),(﹣1,﹣1)也把⊙C分成的四条弧长相等;
故选:B.


二、填空题(本大题共4小题,每小题5分)
13. e﹣xdx= 1 
【考点】定积分.
【分析】根据定积分的法则计算即可.
【解答】解: e﹣xdx=﹣e﹣x|=﹣(﹣1)=1﹣
故答案为:

14.《九章算术》商功章有题:一圆柱形谷仓,高1丈3尺,容纳米1950斛(1丈=10尺,斛为容积单位,1斛≈1.62立方尺,π≈3),则圆柱底面周长约为 54 尺.
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.
【分析】设圆锥的底面半径为r,由题意和圆柱的体积公式列出方程,求出r,由圆的周长公式求出圆柱底面周长.
【解答】解:设圆锥的底面半径为r,
由题意得,πr2×13=1950×1.62,解得r≈9(尺),
所以圆柱底面周长c=2πr≈54(尺).
故答案为:54.

15.已知点A,B,C均在球O的表面上,∠BAC=,球O到平面ABC的距离为3,则球O的表面积为 100π 
【考点】球的体积和表面积.
【分析】运用正弦定理可得△ABC的外接圆的直径2r,再由球的半径和球心到截面的距离、及截面圆的半径构成直角三角形,即可求得球的半径,再由球的表面积公式计算即可得到.
【解答】解:由于∠BAC=
则△ABC的外接圆的直径2r==8,
即有r=4,
由于球心O到平面ABC的距离为3,
则由勾股定理可得,球的半径R=5,
即有此球O的表面积为S=4πR2=4π×25=100π.
故答案为100π.

16.将(n≥4)个正实数排成如图所示n行n列的三角形数阵(如图):其中每一列的数成等比数列,并且所有的公比相等,从第三行起每一行的数成等差数列.已知a22=,则a11+a22+…+ann=  

【考点】归纳推理.
【分析】求出ann=(n+1)•,利用错位相减法求和,即可得出结论.
【解答】解:∵a22=,每一列的数成等比数列,
并且所有的公比相等,从第三行起每一行的数成等差数列,
∴ann=(n+1)•
∴S=2+3•+…+(n+1)•
S=2+3+…+n•+(n+1)
两式相减,整理可得S=
故答案为

三、解答题(本大题共6小题,满分70分,第17题为10分外其余均为12分)
17.已知数列{an}满足a1=511,4an=an﹣1﹣3(n≥2).
(1)求证:(an+1)是等比数列;
(2)令bn=|log2(an+1)|,求{bn}的前n项和Sn.
【考点】数列的求和;等比数列的通项公式.
【分析】(1)将4an=an﹣1﹣3(n≥2)转换成,a1+1=512≠0,,{an+1}是等比数列;
(2)log2(an+1)=11﹣2n,写出{bn}的通项公式,bn=|11﹣2n|,分类讨论n≤5,所有的项都是正的,因此Sn=10n﹣n2,当当n≥6时,从第六项开始是负数,Sn=2T5﹣Tn=n2﹣10n+50.
【解答】解:(Ⅰ)由题意可知:,an+1=
∵a1+1=512≠0,
∴{an+1}是以512为首项,为公比的等比数列,
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知, =211﹣2n,
log2(an+1)=11﹣2n,
bn=|11﹣2n|,
令cn=11﹣2n,设{cn}的前n项和Tn=10n﹣n2,
当n≤5时,Sn=Tn=10n﹣n2,
当n≥6时,Sn=2T5﹣Tn=n2﹣10n+50,


18.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c.已知a+c=3,b=3.
(I)求cosB的最小值;
(Ⅱ)若=3,求A的大小.
【考点】平面向量数量积的运算;正弦定理;余弦定理.
【分析】(I)根据基本不等式求出ac的最大值,利用余弦定理得出cosB的最小值;
(II)利用余弦定理列方程解出a,c,cosB,使用正弦定理得出sinA.
【解答】解:(I)在△ABC中,由余弦定理得cosB===
∵ac≤()2=
∴当ac=时,cosB取得最小值
(II)由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB.
=accosB=3.
∴9=a2+c2﹣6,∴a2+c2=15.
又∵a+c=3,∴ac=6.
∴a=2,c=或a=,c=2
∴cosB=,sinB=
由正弦定理得
∴sinA==1或
∴A=或A=

19.如图,直角三角形ABC中,∠A=60°,∠ABC=90°,AB=2,E为线段BC上一点,且BE=BC,沿AC边上的中线BD将△ABD折起到△PBD的位置.
(1)求证:PE⊥BD;
(2)当平面PBD⊥平面BCD时,求二面角C﹣PB﹣D的余弦值.

【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的性质.
【分析】(1)取BD中点O,连结OE,PO,推导出OE⊥BD,PO⊥BD,从而BD⊥平面POE,由此能证明PE⊥BD.
(2)以O为原点,OE为x轴,OB为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角C﹣PB﹣D的余弦值.
【解答】证明:(1)∵直角三角形ABC中,∠A=60°,∠ABC=90°,
AB=2,E为线段BC上一点,且BE=BC,
∴DC=PD=PB=BD=2,BC=2
取BD中点O,连结OE,PO,
∵OB=1,BE=
∴OE==
∴OB2OE2=BE2,∴OE⊥BD,
∵PB=PD,O为BD中点,∴PO⊥BD,
又PO∩OE=O,∴BD⊥平面POE,
∴PE⊥BD.
解:(2)∵平面PBD⊥平面BCD,∴PO⊥平面BCD,
如图,以O为原点,OE为x轴,OB为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,
则B(0,1,0),P(0,0,),C(),
=(0,﹣1,),=(),
设平面PBC的法向量=(x,y,z),
,取y=,得=(3,),
平面图PBD的法向量=(1,0,0),
cos<>==
由图形知二面角C﹣PB﹣D的平面角是锐角,
∴二面角C﹣PB﹣D的余弦值为


20.在直角坐标系xOy中,以O为圆心的圆与直线:x﹣y=4相切
(1)求圆O的方程
(2)圆O与x轴相交于A、B两点,圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列,求的取值范围.
【考点】圆的标准方程;等比数列的性质;圆方程的综合应用.
【分析】首先分析到题目(1)中圆是圆心在原点的标准方程,由切线可直接求得半径,即得到圆的方程.对于(2)根据圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列,列出方程,再根据点P在圆内求出取值范围.
【解答】解:(1)依题设,圆O的半径r等于原点O到直线的距离,

得圆O的方程为x2+y2=4.
(2)不妨设A(x1,0),B(x2,0),x1<x2.由x2=4即得A(﹣2,0),B(2,0).
设P(x,y),
由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,得
两边平方,可得(x2+y2+4)2﹣16x2=(x2+y2)2,
化简整理可得,x2﹣y2=2.
=x2﹣4+y2=2(y2﹣1).
由于点P在圆O内,故
由此得y2<1.
所以的取值范围为[﹣2,0).

21.如图,四边形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠ABC=60°,AB=2CB=4,在梯形ACEF中,EF∥AC,且AC=2EF,EC⊥平面ABCD.
(1)求证:面FEB⊥面CEB;
(2)若二面角D﹣AF﹣C的大小为,求几何体ABCDEF的体积.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定.
【分析】(1)由余弦定理求出AC,得出AC⊥BC,又AC⊥CE得出AC⊥平面BCE,于是EF⊥平面BCE,故而平面BEF⊥平面BCE;
(2)以C为原点建立坐标系,设CE=h,求出平面ADF和平面ACF的法向量,令|cos<>|=解出h,于是几何体ABCDEF的体积V=VD﹣ACEF+VB﹣ACEF.
【解答】证明:(1)∵AB=4,BC=2,∠ABC=60°,∴AC==2
∴AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC.
∵CE⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴CE⊥AC,又CE⊂平面BCE,BC⊂平面BCE,DE∩BC=C,
∴AC⊥平面BCE,
∵AC∥EF,∴EF⊥平面BCE,
又EF⊂平面BEF,
∴平面BEF⊥平面BCE.
(2)以C为原点,以CA,CB,CE为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示:
设CE=h,则C(0,0,0),A(2,0,0),F(,0,h),D(,﹣1,0),B(0,2,0).
=(﹣,﹣1,0),=(﹣,0,h),
设平面ADF的法向量为=(x,y,z),则
,令z==(h,﹣h,).
∵BC⊥平面ACEF,∴=(0,2,0)为平面ACF的一个法向量,
∴cos<>===﹣
=cos45°=
解得h=.即CE=
∴VD﹣ACEF===
VB﹣ACEF===
∴几何体ABCDEF的体积V=VD﹣ACEF+VB﹣ACEF==


22.已知函数f(x)=xlnx﹣x2﹣x+a(a∈R)在其定义域内有两个不同的极值点.
(Ⅰ)求a的取值范围;
(Ⅱ)记两个极值点分别为x1,x2,且x1<x2.已知λ>0,若不等式e1+λ<x1•x2λ恒成立,求λ的范围.
【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.
【分析】(Ⅰ)由导数与极值的关系知可转化为方程f′(x)=lnx﹣ax=0在(0,+∞)有两个不同根;再转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在(0,+∞)上有两个不同交点,或转化为函数与函数y=a的图象在(0,+∞)上有两个不同交点;或转化为g(x)=lnx﹣ax有两个不同零点,从而讨论求解;
(Ⅱ)可化为1+λ<lnx1+λlnx2,结合方程的根知1+λ<ax1+λax2=a(x1+λx2),从而可得;而,从而化简可得,从而可得恒成立;再令,t∈(0,1),从而可得不等式在t∈(0,1)上恒成立,再令,从而利用导数化恒成立问题为最值问题即可.
【解答】解:(Ⅰ)由题意知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),
方程f′(x)=0在(0,+∞)有两个不同根;
即方程lnx﹣ax=0在(0,+∞)有两个不同根;
(解法一)转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在(0,+∞)上有两个不同交点,
如右图.

可见,若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k,只须0<a<k.
令切点A(x0,lnx0),
,又

解得,x0=e,


(解法二)转化为函数与函数y=a的图象在(0,+∞)上有两个不同交点

即0<x<e时,g′(x)>0,x>e时,g′(x)<0,
故g(x)在(0,e)上单调增,在(e,+∞)上单调减.
故g(x)极大=g(e)=
又g(x)有且只有一个零点是1,且在x→0时,g(x)→﹣∞,在在x→+∞时,g(x)→0,
故g(x)的草图如右图,

可见,要想函数与函数y=a的图象在(0,+∞)上有两个不同交点,
只须
(解法三)令g(x)=lnx﹣ax,从而转化为函数g(x)有两个不同零点,
(x>0),
若a≤0,可见g′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,所以g(x)在(0,+∞)单调增,
此时g(x)不可能有两个不同零点.
若a>0,在时,g′(x)>0,在时,g′(x)<0,
所以g(x)在上单调增,在上单调减,从而=
又因为在x→0时,g(x)→﹣∞,在在x→+∞时,g(x)→﹣∞,
于是只须:g(x)极大>0,即,所以
综上所述,
(Ⅱ)因为等价于1+λ<lnx1+λlnx2.
由(Ⅰ)可知x1,x2分别是方程lnx﹣ax=0的两个根,
即lnx1=ax1,lnx2=ax2
所以原式等价于1+λ<ax1+λax2=a(x1+λx2),因为λ>0,0<x1<x2,
所以原式等价于
又由lnx1=ax1,lnx2=ax2作差得,,即
所以原式等价于
因为0<x1<x2,原式恒成立,即恒成立.
,t∈(0,1),
则不等式在t∈(0,1)上恒成立.

=
当λ2≥1时,可见t∈(0,1)时,h′(t)>0,
所以h(t)在t∈(0,1)上单调增,又h(1)=0,h(t)<0在t∈(0,1)恒成立,符合题意.
当λ2<1时,可见t∈(0,λ2)时,h′(t)>0,t∈(λ2,1)时h′(t)<0,
所以h(t)在t∈(0,λ2)时单调增,在t∈(λ2,1)时单调减,又h(1)=0,
所以h(t)在t∈(0,1)上不能恒小于0,不符合题意,舍去.
综上所述,若不等式恒成立,只须λ2≥1,又λ>0,所以λ≥1.

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