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四川省高考数学试卷文科及答案2017

2017-3-31 编辑:zyy 查看次数: 手机版


.选择题(每小题5分,满分60分,每小题给出的四个选项中,只有一项是题目要求的)
1.已知集合P={x|x2﹣2x≥3},Q={x|2<x<4},则P∩Q=(  )
A.[3,4) B.(2,3]   C.(﹣1,2)    D.(﹣1,3]
2.设i是虚数单位,复数z=,则|z|=(  )
A.1      B.   C.   D.2
3.设a,b是实数,则“a+b>0”是“ab>0”的(  )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件     D.既不充分也不必要条件
4.已知f(x)=是(﹣∞,+∞)上的减函数,那么a的取值范围是(  )
A.(0,1) B.(0,)       C.[)     D.[,1)
5.圆(x+2)2+y2=4与圆(x﹣2)2+(y﹣1)2=9的位置关系为(  )
A.内切       B.相交       C.外切       D.相离
6.若sinα=﹣,则α为第四象限角,则tanα的值等于(  )
A.   B.﹣      C.   D.﹣
7.已知非零向量满足||=4||,且⊥()则的夹角为(  )
A.   B.   C. D.
8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(  )

A.   B.      C. D.
9.在区间[0,2]上随机地取一个数x,则事件“﹣1≤log(x+)≤1”发生的概率为(  )
A.     B.     C.     D.
10.某食品保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b (e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是(  )
A.16小时  B.20小时  C.24小时  D.28小时
11.已知双曲线C1:=1(a>0,b>0)的离心率为2,若抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的涟近线的距离是2,则抛物线C2的方程是(  )
A.    B.x2=y     C.x2=8y      D.x2=16y
12.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f(x)=x3﹣x,则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为(  )
A.6      B.7      C.8      D.9

.填空题(每题5分,满分20分)
13.某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间[0.3,0.9]内,其频率分布直方图如图所示.直方图中的a=  

14.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sinB=,C=,则b=  
15.根据如图,当输入x为2006时,输出的y=  .(用数字作答)

16.若定义在[0,4]上的函数f(x)=﹣sin(πx)与函数g(x)=x3+bx+c在同一点处有相同的最小值,则b﹣c的值为  

.解答题(本大题个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.等差数列{an}中,a7=4,a19=2a9,
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=,求数列{bn}的前n项和Sn.
18.某公司从大学招收毕业生,经过综合测试,录用了14名男生和6名女生,这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示(单位:分).公司规定:成绩在180分以上者到甲部门工作,180分以下者到乙部门工作,另外只有成绩高于180分的男生才能担任助理工作.
(1)分别求甲、乙两部门毕业生测试成绩的中位数和平均数
(2)如果用分层抽样的方法从甲部门人选和乙部门人选中选取8人,再从这8人中选3人,那么至少有一人是甲部门人选的概率是多少?

19.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分别是BC和CC1的中点,已知AB=AC=AA1=4,∠BAC=90°.
(Ⅰ) 求证:B1D⊥平面AED;
(Ⅱ) 求二面角B1﹣AE﹣D的余弦值.

20.已知抛物线y2=4x的焦点为F,点P,Q(异于顶点O)在抛物线上.
(1)若点P(1,2),试求过点P且与抛物线相切的直线方程;
(2)若过点P,Q且与抛物线分别相切的直线交于点M,证明:|PF|,|MF|,|QF|依次成等比数列.
21.已知函数f(x)=ax2+bx﹣lnx(a,b∈R)
(1)设a≥0,求f(x)的单调区间;
(2)设a>0,且对于任意x>0,f(x)≥f(1).试比较lna与﹣2b的大小.
22.在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴,与直角坐标系xOy取相同的长度单位,建立极坐标系、设曲线C参数方程为(θ为参数),直线l的极坐标方程为ρcos(θ﹣)=2
(1)写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程;
(2)求曲线C上的点到直线l的最大距离.


参考答案与试题解析

.选择题(每小题5分,满分60分,每小题给出的四个选项中,只有一项是题目要求的)
1.已知集合P={x|x2﹣2x≥3},Q={x|2<x<4},则P∩Q=(  )
A.[3,4) B.(2,3]   C.(﹣1,2)    D.(﹣1,3]
【考点】交集及其运算.
【分析】求出集合P,然后求解交集即可.
【解答】解:集合P={x|x2﹣2x≥3}={x|x≤﹣1或x≥3},
Q={x|2<x<4},
则P∩Q={x|3≤x<4}=[3,4).
故选:A.

2.设i是虚数单位,复数z=,则|z|=(  )
A.1      B.   C.   D.2
【考点】复数求模.
【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出.
【解答】解:∵z===i(1﹣i)=i+1,
则|z|=
故选:B.

3.设a,b是实数,则“a+b>0”是“ab>0”的(  )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件     D.既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】利用特例集合充要条件的判断方法,判断正确选项即可.
【解答】解:a,b是实数,如果a=﹣1,b=2则“a+b>0”,则“ab>0”不成立.
如果a=﹣1,b=﹣2,ab>0,但是a+b>0不成立,
所以设a,b是实数,则“a+b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件.
故选:D.

4.已知f(x)=是(﹣∞,+∞)上的减函数,那么a的取值范围是(  )
A.(0,1) B.(0,)       C.[)     D.[,1)
【考点】函数单调性的性质.
【分析】根据函数的单调性以及一次函数,对数函数的性质,求出a的范围即可.
【解答】解:由题意得:

解得:≤x<
故选:C.

5.圆(x+2)2+y2=4与圆(x﹣2)2+(y﹣1)2=9的位置关系为(  )
A.内切       B.相交       C.外切       D.相离
【考点】圆与圆的位置关系及其判定.
【分析】求出两圆的圆心和半径,计算两圆的圆心距,将圆心距和两圆的半径之和或半径之差作对比,判断两圆的位置关系.
【解答】解:圆(x+2)2+y2=4的圆心C1(﹣2,0),半径r=2.
圆(x﹣2)2+(y﹣1)2=9的圆心C2(2,1),半径R=3,
两圆的圆心距d==
R+r=5,R﹣r=1,
R+r>d>R﹣r,
所以两圆相交,
故选B.

6.若sinα=﹣,则α为第四象限角,则tanα的值等于(  )
A.   B.﹣      C.   D.﹣
【考点】同角三角函数基本关系的运用.
【分析】利用同角三角函数的基本关系式求出cosα,然后求解即可.
【解答】解:sinα=﹣,则α为第四象限角,cosα==
tanα==﹣
故选:D.

7.已知非零向量满足||=4||,且⊥()则的夹角为(  )
A.   B.   C. D.
【考点】数量积表示两个向量的夹角.
【分析】由已知向量垂直得到数量积为0,于是得到非零向量的模与夹角的关系,求出夹角的余弦值.
【解答】解:由已知非零向量满足||=4||,且⊥(),设两个非零向量的夹角为θ,
所以•()=0,即2=0,所以cosθ=,θ∈[0,π],所以
故选C.

8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(  )

A.   B.      C. D.
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】利用三视图判断直观图的形状,结合三视图的数据,求解几何体的体积即可.
【解答】解:由题意可知几何体的形状是放倒的圆柱,底面半径为1,高为2,左侧与一个底面半径为1,高为1的半圆锥组成的组合体,
几何体的体积为: =
故选:B.

9.在区间[0,2]上随机地取一个数x,则事件“﹣1≤log(x+)≤1”发生的概率为(  )
A.     B.     C.     D.
【考点】几何概型.
【分析】先解已知不等式,再利用解得的区间长度与区间[0,2]的长度求比值即得.
【解答】解:利用几何概型,其测度为线段的长度.
∵﹣1≤log(x+)≤1

解得0≤x≤
∵0≤x≤2
∴0≤x≤
∴所求的概率为:P=
故选:A

10.某食品保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b (e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是(  )
A.16小时  B.20小时  C.24小时  D.28小时
【考点】指数函数的实际应用.
【分析】由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系,由已知构造方程组求出ek,eb的值,运用指数幂的运算性质求解e33k+b即可.
【解答】解:y=ekx+b (e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).
当x=0时,eb=192,
当x=22时e22k+b=48,
∴e22k==
e11k=
eb=192
当x=33时,e33k+b=(ek)33•(eb)=()3×192=24
故选:C

11.已知双曲线C1:=1(a>0,b>0)的离心率为2,若抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的涟近线的距离是2,则抛物线C2的方程是(  )
A.    B.x2=y     C.x2=8y      D.x2=16y
【考点】抛物线的简单性质;点到直线的距离公式;双曲线的简单性质.
【分析】利用双曲线的离心率推出a,b的关系,求出抛物线的焦点坐标,通过点到直线的距离求出p,即可得到抛物线的方程.
【解答】解:双曲线C1:的离心率为2.
所以,即: =4,所以;双曲线的渐近线方程为:
抛物线的焦点(0,)到双曲线C1的渐近线的距离为2,
所以2=,因为,所以p=8.
抛物线C2的方程为x2=16y.
故选D.

12.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f(x)=x3﹣x,则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为(  )
A.6      B.7      C.8      D.9
【考点】根的存在性及根的个数判断;函数的周期性.
【分析】当0≤x<2时,f(x)=x3﹣x=0解得x=0或x=1,由周期性可求得区间[0,6)上解的个数,再考虑x=6时的函数值即可.
【解答】解:当0≤x<2时,f(x)=x3﹣x=0解得x=0或x=1,
因为f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,
故f(x)=0在区间[0,6)上解的个数为6,
又因为f(6)=f(0)=0,故f(x)=0在区间[0,6]上解的个数为7,
即函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为7
故选B

.填空题(每题5分,满分20分)
13.某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间[0.3,0.9]内,其频率分布直方图如图所示.直方图中的a= 3 

【考点】频率分布直方图.
【分析】频率分布直方图中每一个矩形的面积表示频率,先算出频率,在根据频率和为1,算出a的值
【解答】解:由题意,根据直方图的性质得(1.5+2.5+a+2.0+0.8+0.2)×0.1=1,
解得a=3,
故答案为:3

14.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sinB=,C=,则b= 1 
【考点】正弦定理;两角和与差的正弦函数.
【分析】由sinB=,可得B=或B=,结合a=,C=及正弦定理可求b
【解答】解:∵sinB=
∴B=或B=
当B=时,a=,C=,A=
由正弦定理可得,
则b=1
当B=时,C=,与三角形的内角和为π矛盾
故答案为:1

15.根据如图,当输入x为2006时,输出的y= 10 .(用数字作答)

【考点】程序框图.
【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的x的值,当x=﹣2时不满足条件x≥0,计算并输出y的值为10.
【解答】解:模拟执行程序框图,可得
x=2006,
x=2004
满足条件x≥0,x=2002
满足条件x≥0,x=2000

满足条件x≥0,x=0
满足条件x≥0,x=﹣2
不满足条件x≥0,y=10
输出y的值为10.
故答案为:10.

16.若定义在[0,4]上的函数f(x)=﹣sin(πx)与函数g(x)=x3+bx+c在同一点处有相同的最小值,则b﹣c的值为 0或﹣49 
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;正弦函数的图象.
【分析】根据正弦函数的性质求出f(x)的最小值及对应的x的值,利用导数判断g(x)的单调性,得出g(x)的最小值和对应的x,列出方程组即可得出b,c的值.
【解答】解:令πx=+2kπ得x=+2k,k∈Z.
∴当x=或x=时,f(x)=﹣sin(πx)取得最小值﹣1.
g′(x)=3x2+b,
(1)若b≥0,则g′(x)≥0,
∴g(x)在[0,4]上是增函数,
∴当x=0时g(x)取得最小值,不符合题意;
(2)若b<0,令g′(x)=0得x=或x=﹣(舍).
①若≥4,则g′(x)≤0,
∴g(x)在[0,4]上是减函数,
∴当x=4时g(x)取得最小值,不符合题意;
②若0<<4,即﹣48<b<0时,
∴当0<x<时,g′(x)<0,当<x<4时,g′(x)>0,
∴g(x)在(0,)上单调递减,在(,4)上单调递增,
∴当x=时,g(x)取得最小值g()=﹣+b+c=+c.

解得b=c=﹣或b=﹣,c=
∴b﹣c=0或b﹣c=﹣49.
故答案为:0或﹣49.

.解答题(本大题个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.等差数列{an}中,a7=4,a19=2a9,
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=,求数列{bn}的前n项和Sn.
【考点】数列的求和;等差数列的通项公式.
【分析】(I)由a7=4,a19=2a9,结合等差数列的通项公式可求a1,d,进而可求an
(II)由==,利用裂项求和即可求解
【解答】解:(I)设等差数列{an}的公差为d
∵a7=4,a19=2a9,

解得,a1=1,d=
=
(II)∵==
∴sn=
==

18.某公司从大学招收毕业生,经过综合测试,录用了14名男生和6名女生,这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示(单位:分).公司规定:成绩在180分以上者到甲部门工作,180分以下者到乙部门工作,另外只有成绩高于180分的男生才能担任助理工作.
(1)分别求甲、乙两部门毕业生测试成绩的中位数和平均数
(2)如果用分层抽样的方法从甲部门人选和乙部门人选中选取8人,再从这8人中选3人,那么至少有一人是甲部门人选的概率是多少?

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;茎叶图.
【分析】(1)由茎叶图能求出甲、乙甲、乙两部门毕业生测试成绩的中位数和平均数.
(2)用分层抽样的方法,选中的“甲部门”人选有4人,“乙部门”人选有4人,用事件A表示“至少有一名甲部门人选被选中”,则它的对立事件表示“没有一名甲部门人选被选中”,由此利用对立事件概率计算公式能求出至少有一人是甲部门人选的概率.
【解答】解:(1)由茎叶图得甲部门毕业生测试成绩的中位数为:
=175.5,
平均数为: =178.5.
乙部门毕业生测试成绩的中位数为:

平均数为: =
(2)用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率都是
根据茎叶图得有“甲部门”人选10人,“乙部门人选”10人,
∴选中的“甲部门”人选有10×人,“乙部门”人选有10×人,
用事件A表示“至少有一名甲部门人选被选中”,
则它的对立事件表示“没有一名甲部门人选被选中”,
则P(A)=1﹣P()=1﹣=
∴至少有一人是甲部门人选的概率是

19.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分别是BC和CC1的中点,已知AB=AC=AA1=4,∠BAC=90°.
(Ⅰ) 求证:B1D⊥平面AED;
(Ⅱ) 求二面角B1﹣AE﹣D的余弦值.

【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定.
【分析】(Ⅰ) 建立空间直角坐标系,求出相关点的坐标,分别计算=0,=0,利用直线与平面垂直的判定定理可证B1D⊥平面AED;
(Ⅱ)由(Ⅰ)分别求出平面AED和平面B1AE一个法向量;利用空间两个向量的夹角公式即可求出二面角B1﹣AE﹣D的余弦值.
【解答】解:(Ⅰ)依题意,建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz,
∵AB=AC=AA1=4,
∴A(0,0,0),B(4,0,0),E(0,4,2),D(2,2,0),B1(4,0,4),
=(﹣2,2,﹣4),=(2,2,0),=(0,4,2),
=﹣4+4+0=0,
,即B1D⊥AD,
=0+8﹣8=0,
,即B1D⊥AE,
又AD,AE⊂平面AED,且AD∩AE=A,
则B1D⊥平面AED;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知=(﹣2,2,﹣4),为平面AED的一个法向量,
设平面B1AE的法向量为=(x,y,z),
=(0,4,2),=(4,0,4),
,得
令y=1,得x=2,z=﹣2,即=(2,1,﹣2),
∴cos()===
∴二面角二面角B1﹣AE﹣D的余弦值为


20.已知抛物线y2=4x的焦点为F,点P,Q(异于顶点O)在抛物线上.
(1)若点P(1,2),试求过点P且与抛物线相切的直线方程;
(2)若过点P,Q且与抛物线分别相切的直线交于点M,证明:|PF|,|MF|,|QF|依次成等比数列.
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】(1)求导数,确定切线的斜率,可得切线方程;
(2)求出过点P,Q且与抛物线分别相切的直线方程,可得M的坐标,利用等比数列的定义进行证明.
【解答】(1)解:由题意,y=2,y′=,x=1,y′=1,
∴过点P且与抛物线相切的直线方程为y﹣2=x﹣1,即x﹣y+1=0;
(2)证明:设P(x1,y1),Q(x2,y2),则过P的切线方程为y﹣y1=(x﹣x1),即y=x+
同理过Q的切线方程为y=x+,可得M( +),
∴|PF|=x1+1,|QF|=x2+1,|MF|2=(﹣1)2+(+)2,
∴|MF|2=|PF||QF|,
∴|PF|,|MF|,|QF|依次成等比数列.

21.已知函数f(x)=ax2+bx﹣lnx(a,b∈R)
(1)设a≥0,求f(x)的单调区间;
(2)设a>0,且对于任意x>0,f(x)≥f(1).试比较lna与﹣2b的大小.
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】(1)求导,对a,b讨论,判断导函数的正负,确定原函数的单调区间.
(2)通过构造函数,利用函数单调性确定lna与﹣2b的大小.
【解答】解:(1)函数的定义域为(0,+∞)
f′(x)=2ax+b﹣
=
当a=0时
当b≤0时,在定义域内f′(x)<0,函数递减
当b>0时,在(0,),f′(x)<0,函数递减;在(,+∞),f′(x)0,函数递增
当a>0时
令f′(x)=0
∴x=
在(0,),f′(x)<0,函数递减;在(,+∞)f′(x)>0,函数递增.
(2)由题知,函数在x=1处取得最小值,即x=1时函数的极值点
∴f′(x)=2ax+b﹣
=
f′(1)=2a+b﹣1=0
∴b=1﹣2a
﹣2b=4a﹣2
∴lna﹣(﹣2b)
=lna﹣4a+2
构造函数g(x)=2﹣4x+lnx(x>0)
g′(x)=
令g′(x)=0,x=
当0<x<时,g′(x)>0,g(x)递增
当x>时,g′(x)<0,g(x)递减
∴g(x)≤g()=1﹣ln4<0
∴g(a)=2﹣4a+lna=2b+lna<0
故lna<﹣2b

22.在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴,与直角坐标系xOy取相同的长度单位,建立极坐标系、设曲线C参数方程为(θ为参数),直线l的极坐标方程为ρcos(θ﹣)=2
(1)写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程;
(2)求曲线C上的点到直线l的最大距离.
【考点】椭圆的参数方程;点到直线的距离公式;参数方程化成普通方程;直线的参数方程.
【分析】(1)利用两角差的余弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l的普通方程;利用同角三角函数的基本关系,消去θ可得曲线C的普通方程.
(2)由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式,及正弦函数的有界性求得点P到直线l的距离的最大值.
【解答】解:(1)由得   ρ(cosθ+sinθ)=4,∴直线l:x+y﹣4=0.
得C:
(2)在C:上任取一点,则点P到直线l的距离为
d===3
∴当=﹣1,即+2kπ,k∈z 时,dmax=3

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