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2017学年天津市高考数学试卷及答案

2017-3-31 编辑:zyy 查看次数: 手机版


.填空题
1.函数f(x)=的定义域为  
2.已知复数z满足z+i=1﹣iz(i是虚数单位),则z=  
3.以抛物线y2=4x的焦点F为圆心,与抛物线的准线相切的圆的标准方程为  
4.已知二元一次方程组的增广矩阵是(),若该方程组无解,则实数m的值为  
5.已知定义域为R的函数y=f(x)的图象关于点(﹣1,0)对称,y=g(x)是y=f(x)的反函数,若x1+x2=0,则g(x1)+g(x2)=  
6.已知x,y∈R+,且4x+y=1,则的最小值是  
7.若二项式(x+)n展开式中只有第四项的系数最大,则这个展开式中任取一项为有理项的概率是  
8.等比数列{an}前n项和,n∈N*,则=  
9.把一个大金属球表面涂漆,共需油漆2.4公斤.若把这个大金属球熔化制成64个大小都相同的小金属球,不计损耗,将这些小金属球表面都涂漆,需要用漆  公斤.
10.已知函数f(x)=,记an=f(n)(n∈N*),若{an}是递减数列,则实数t的取值范围是  
11.已知f(x)=asin2x+bcos2x(a,b为常数),若对于任意x∈R都有f(x)≥f(),则方程f(x)=0在区间[0,π]内的解为  
12.对于具有相同定义域D的函数f(x)和g(x),若存在函数h(x)=kx+b(k,b为常数),对任给的正数m,存在相应的x0∈D,使得当x∈D且x>x0时,总有,则称直线l:y=kx+b为曲线y=f(x)和y=g(x)的“分渐近线”.给出定义域均为D={x|x>1}的四组函数如下:
①f(x)=x2,g(x)=
②f(x)10﹣x+2,g(x)=
③f(x)=,g(x)=; 
④f(x)=,g(x)=2(x﹣1﹣e﹣x)
其中,曲线y=f(x)和y=g(x)存在“分渐近线”的是  

.选择题
13.设全集U=R,已知A={x|>0},B={x||x﹣1|<2},则(∁UA)∩B=(  )
A.(﹣,﹣1)      B.(﹣1,﹣2]  C.(2,3]   D.[2,3)
14.已知a、b为实数,命题甲:ab>b2,命题乙:,则甲是乙的(  )条件.
A.充分不必要  B.必要不充分  C.充要       D.非充分非必要
15.下列命题中,正确的个数是
(1)直线上有两个点到平面的距离相等,则这条直线和这个平面平行;
(2)a,b为异面直线,则过a且与b平行的平面有且仅有一个;
(3)直四棱柱是直平行六面体
(4)两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥(  )
A.0      B.1      C.2      D.3
16.已知符号函数sgnx=,f(x)是R上的增函数,g(x)=f(x)﹣f(ax)(a>1),则(  )
A.sgn[g(x)]=sgnx     B.sgn[g(x)]=﹣sgnx C.sgn[g(x)]=sgn[f(x)]      D.sgn[g(x)]=﹣sgn[f(x)]
17.已知f(x)=Asin(wx+θ),(w>0),若两个不等的实数x1,x2∈,且|x1﹣x2|min=π,则f(x)的最小正周期是(  )
A.3π    B.2π    C.π      D.
18.已知O是正三角形△ABC内部的一点, +2+3=,则△OAC的面积与△OAB的面积之比是(  )
A.     B.     C.2      D.1

.解答题
19.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知AA1=BC=AB=2,AB⊥BC.
(1)求四棱锥A1﹣BCC1B1的体积;
(2)求二面角B1﹣A1C﹣C1的大小.

20.已知△ABC的三个内角分别为A,B,C,且
(Ⅰ)求A的度数;
(Ⅱ)若BC=7,AC=5,求△ABC的面积S.
21.平面直角坐标系中,点A(﹣2,0)、B(2,0),平面内任意一点P满足:直线PA的斜率k1,直线PB的斜率k2,k1k2=﹣,点P的轨迹为曲线C1.双曲线C2以曲线C1的上下两顶点M,N为顶点,Q是双曲线C2上不同于顶点的任意一点,直线QM的斜率k3,直线QN的斜率k4.
(1)求曲线C1的方程;
(2)如果k1k2+k3k4≥0,求双曲线C2的焦距的取值范围.
22.设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且满足:a1=1,4Sn=(an+1)2(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=+(∈N*),试求(b1+b2+…+bn﹣2n)的值;
(3)是否存在大于2的正整数m、k,使得am+am+1+am+2+…+am+k=300?若存在,求出所有符合条件的m、k;若不存在,请说明理由.
23.已知函数f(x)=log2(x+a).
(1)若0<f(1﹣2x)﹣f(x)<,当a=1时,求x的取值范围;
(2)若定义在R上奇函数g(x)满足g(x+2)=﹣g(x),且当0≤x≤1时,g(x)=f(x),求g(x)在[﹣3,﹣1]上的反函数h(x);
(3)对于(2)中的g(x),若关于x的不等式g()≥1﹣log23在R上恒成立,求实数t的取值范围.


参考答案与试题解析

.填空题
1.函数f(x)=的定义域为 [2002] 
【考点】函数的定义域及其求法.
【分析】由根式内部的代数式大于等于0,且分母不为0联立不等式组求解.
【解答】解:由,解得:﹣2≤x≤2且x≠0.
∴函数f(x)=的定义域为[﹣2,0)∪(0,2].
故答案为:[﹣2,0)∪(0,2].

2.已知复数z满足z+i=1﹣iz(i是虚数单位),则z= ﹣i 
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】根据复数z满足z+i=1﹣iz,移项得到z+zi=1﹣i,提出公因式z(1+i)=1﹣i,两边同除以1+i,进行复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,得到结果.
【解答】解:复数z满足z+i=1﹣iz,
∴z+zi=1﹣i
z(1+i)=1﹣i
∴z===﹣i
故答案为:﹣i

3.以抛物线y2=4x的焦点F为圆心,与抛物线的准线相切的圆的标准方程为 (x12+y2=4 
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】求出抛物线的焦点坐标,焦点到准线的距离就是所求圆的半径,然后写出圆的方程即可.
【解答】解:因为抛物线y2=4x的焦点为圆心即(1,0),与抛物线的准线相切的圆的半径为:2.
所求圆的方程为:(x﹣1)2+y2=4.
故答案为:(x﹣1)2+y2=4.

4.已知二元一次方程组的增广矩阵是(),若该方程组无解,则实数m的值为 ﹣2 
【考点】二元一次方程组的矩阵形式.
【分析】根据二元一次方程组的增广矩阵是(),该方程组无解,可得,从而可求实数m的值.
【解答】解:∵二元一次方程组的增广矩阵是(),该方程组无解,

∴m2﹣4=0且4m﹣m(m+2)≠0,
∴m=﹣2.
故答案为:﹣2.

5.已知定义域为R的函数y=f(x)的图象关于点(﹣1,0)对称,y=g(x)是y=f(x)的反函数,若x1+x2=0,则g(x1)+g(x2)= ﹣2 
【考点】反函数.
【分析】由题意可得y=g(x)是y=f(x)的反函数,得到函数y=g(x)的图象关于(0,﹣1)点中心对称图形,结合x1+x2=0,可得g(x1)+g(x2)的值.
【解答】解:∵定义域为R的函数y=f(x)的图象关于点(﹣1,0)对称,
且y=g(x)是y=f(x)的反函数,
∴函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x﹣y=0对称,
故函数y=g(x)的图象关于(0,﹣1)点中心对称图形,
∴点(x1,g(x1))和点(x2,g(x2))是关于点(0,﹣1)中心对称,

∵x1+x2=0,
∴g(x1)+g(x2)=﹣2.
故答案为:﹣2.

6.已知x,y∈R+,且4x+y=1,则的最小值是 25 
【考点】基本不等式.
【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出.
【解答】解:∵x,y∈R+,且4x+y=1,
=(4x+y)=13++≥13+2=25.
故答案为:25.

7.若二项式(x+)n展开式中只有第四项的系数最大,则这个展开式中任取一项为有理项的概率是  
【考点】二项式定理的应用.
【分析】先利用展开式中只有第四项的二项式系数最大求出n=6,再求出其通项公式,求出r=0,2,4,6时,为有理项,即可求出概率.
【解答】解:因为二项式(x+)n展开式中只有第四项的系数最大,
所以n=6.
所以其通项为Tr+1=
所以r=0,2,4,6时,为有理项,
所以所求概率为
故答案为:

8.等比数列{an}前n项和,n∈N*,则= ﹣ 
【考点】等比数列的前n项和.
【分析】根据等比数列{an}的前n项和推知a1和q,然后根据求和公式进行计算并求极限.
【解答】解:∵等比数列{an}前n项和为Sn=a+(﹣)n,n∈N*,
∴an=Sn﹣Sn﹣1=a+(﹣)n﹣a+(﹣)n﹣1=﹣•(﹣)n﹣1,
∴a1=﹣,q=﹣
∴a1,a3,a5,…,a2n﹣1,为首项﹣,公比为的等比数列,
∴a1+a3+a5+…+a2n﹣1==﹣(1﹣),
=(﹣(1﹣)=﹣
故答案为:

9.把一个大金属球表面涂漆,共需油漆2.4公斤.若把这个大金属球熔化制成64个大小都相同的小金属球,不计损耗,将这些小金属球表面都涂漆,需要用漆 9.6 公斤.
【考点】球的体积和表面积.
【分析】设大金属球的半径为R,小金属球的半径为r,根据体积相等建立等式关系,然后求出64个小球球面的总面积,从而求出所求.
【解答】解:设大金属球的半径为R,小金属球的半径为r,依题意得知:面积为4πR2需要要用油漆2.4kg.
=64×,可得r=R
64个小球球面的总面积为:64×4πr2=4×(4πR2)
∴4×2.4=9.6(kg)
故答案为:9.6.

10.已知函数f(x)=,记an=f(n)(n∈N*),若{an}是递减数列,则实数t的取值范围是  
【考点】数列的函数特性.
【分析】要使函数f(x)=x2﹣3tx+18在x≤3(x∈N*)时单调递减,则,解得t,解得t;要使函数f(x)=在x>3单调递减,则必须满足t﹣13<0,解得t;又函数f(x)在x∈N*时单调递减,则f(3)>f(4),解得t.联立解得即可.
【解答】解:要使函数f(x)=x2﹣3tx+18在x≤3(x∈N*)时单调递减,则,解得t
要使函数f(x)=在x>3单调递减,则必须满足t﹣13<0,解得t<13.
又函数f(x)在x∈N*时单调递减,则f(3)=27﹣9t>f(4)=(t﹣13)•,解得t<4.
故t的取值范围是
故答案为:

11.已知f(x)=asin2x+bcos2x(a,b为常数),若对于任意x∈R都有f(x)≥f(),则方程f(x)=0在区间[0,π]内的解为  
【考点】三角函数中的恒等变换应用.
【分析】由f(x)≥f(),可知f()是函数f(x)的最小值,利用辅助角公式求出a,b的关系,然后利用三角函数的图象和性质进求解即可.
【解答】解:∵f(x)=asin2x+bcos2x=sin(2x+θ)其中tan
由f(x)≥f(),则f()是函数f(x)的最小值,
即f()=
∴f()=

平方得,

,解得b=﹣
∵tan=,不妨设
则f(x)=asin2x+bcos2x=sin(2x﹣),
由f(x)=sin(2x﹣)=0,
解得2x﹣=kπ,
即x=,k∈Z,
∵x∈[0,π],
∴当k=0时,x=
当k=1时,x=
故x=或=
故答案为:

12.对于具有相同定义域D的函数f(x)和g(x),若存在函数h(x)=kx+b(k,b为常数),对任给的正数m,存在相应的x0∈D,使得当x∈D且x>x0时,总有,则称直线l:y=kx+b为曲线y=f(x)和y=g(x)的“分渐近线”.给出定义域均为D={x|x>1}的四组函数如下:
①f(x)=x2,g(x)=
②f(x)10﹣x+2,g(x)=
③f(x)=,g(x)=; 
④f(x)=,g(x)=2(x﹣1﹣e﹣x)
其中,曲线y=f(x)和y=g(x)存在“分渐近线”的是 ②④ 
【考点】函数的值域.
【分析】题目给出了具有相同定义域D的函数f(x)和g(x),若存在函数h(x)=kx+b(k,b为常数),对任给的正数m,存在相应的x0∈D,使得当x∈D且x>x0时,总有,则称直线l:y=kx+b为曲线y=f(x)和y=g(x)的“分渐近线”.当给定的正数m无限小的时候,函数f(x)的图象在函数h(x)=kx+b的图象的上方且无限靠近直线,函数g(x)的图象在函数h(x)=kx+b的图象的下方且无限靠近直线,说明f(x)和g(x)存在分渐近线的充要条件是x→∞时,f(x)﹣g(x)→0.对于第一组函数,通过构造辅助函数F(x)=f(x)﹣g(x)=,对该函数求导后说明函数F(x)在(1,+∞)上是增函数,不满足x→∞时,f(x)﹣g(x)→0;对于第二组函数,直接作差后可看出满足x→∞时,f(x)﹣g(x)→0;对于第三组函数,作差后得到差式为,结合函数y=x和y=lnx图象的上升的快慢,说明当x>1时,为为负值且逐渐减小;第四组函数作差后,可直接看出满足x→∞时,f(x)﹣g(x)→0.由以上分析可以得到正确答案.
【解答】解:f(x)和g(x)存在分渐近线的充要条件是x→∞时,f(x)﹣g(x)→0.
对于①f(x)=x2,g(x)=,当x>1时,令F(x)=f(x)﹣g(x)=
由于,所以h(x)为增函数,不符合x→∞时,f(x)﹣g(x)→0,所以①不存在;
对于②f(x)=10﹣x+2,g(x)=
f(x)﹣g(x)==
因为当x>1且x→∞时,f(x)﹣g(x)→0,所以存在分渐近线;
对于③f(x)=,g(x)=

f(x)﹣g(x)==
当x>1且x→∞时,均单调递减,但的递减速度比快,
所以当x→∞时f(x)﹣g(x)会越来越小,不会趋近于0,
所以不存在分渐近线;
对于④f(x)=,g(x)=2(x﹣1﹣e﹣x),当x→∞时,
f(x)﹣g(x)=
=
=→0,
因此存在分渐近线.
故存在分渐近线的是②④.
故答案为②④.

.选择题
13.设全集U=R,已知A={x|>0},B={x||x﹣1|<2},则(∁UA)∩B=(  )
A.(﹣,﹣1)      B.(﹣1,﹣2]  C.(2,3]   D.[2,3)
【考点】交、并、补集的混合运算.
【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B,找出A补集与B的交集即可.
【解答】解:由A中不等式变形得:(2x+3)(x﹣2)>0,
解得:x<﹣或x>2,即A=(﹣∞,﹣)∪(2,+∞),
∴∁UA=[﹣,2],
由B中不等式变形得:﹣2<x﹣1<2,
解得:﹣1<x<3,即B=(﹣1,3),
∴(∁UA)∩B=(﹣1,2],
故选:B.

14.已知a、b为实数,命题甲:ab>b2,命题乙:,则甲是乙的(  )条件.
A.充分不必要  B.必要不充分  C.充要       D.非充分非必要
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】利用不等式的性质与解法分别化简命题甲、乙,即可判断出关系.
【解答】解:由命题乙:,可得:a<b<0.
命题甲:ab>b2,化为:b(a﹣b)>0,∴,或,解得a>b>0,或a<b<0.
∴甲是乙的必要不充分条件.
故选:B.

15.下列命题中,正确的个数是
(1)直线上有两个点到平面的距离相等,则这条直线和这个平面平行;
(2)a,b为异面直线,则过a且与b平行的平面有且仅有一个;
(3)直四棱柱是直平行六面体
(4)两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥(  )
A.0      B.1      C.2      D.3
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】(1)利用线面平行的判定定理即可判断出正误;
(2)利用异面直线的性质与线面平行的判定定理即可断出正误;
(3)利用直四棱柱与直平行六面体的定义,即可判断出正误;
(4)两相邻侧面所成角相等的棱锥不一定是正棱锥,例如把如图所示的正方形折叠成三棱锥不是正棱锥.
【解答】解:(1)直线上有两个点到平面的距离相等,则这条直线和这个平面不一定平行,因此不正确;
(2)a,b为异面直线,则过a且与b平行的平面有且仅有一个,正确;
(3)直四棱柱不是直平行六面体,因此不正确;
(4)两相邻侧面所成角相等的棱锥不一定是正棱锥,例如把如图所示的正方形折叠成三棱锥不是正棱锥.
综上正确的有1个.
故选:B.


16.已知符号函数sgnx=,f(x)是R上的增函数,g(x)=f(x)﹣f(ax)(a>1),则(  )
A.sgn[g(x)]=sgnx     B.sgn[g(x)]=﹣sgnx C.sgn[g(x)]=sgn[f(x)]      D.sgn[g(x)]=﹣sgn[f(x)]
【考点】函数与方程的综合运用.
【分析】直接利用特殊法,设出函数f(x),以及a的值,判断选项即可.
【解答】解:由于本题是选择题,可以采用特殊法,符号函数sgnx=,f(x)是R上的增函数,g(x)=f(x)﹣f(ax)(a>1),
不妨令f(x)=x,a=2,
则g(x)=f(x)﹣f(ax)=﹣x,
sgn[g(x)]=﹣sgnx.所以A不正确,B正确,
sgn[f(x)]=sgnx,C不正确;D正确;
对于D,令f(x)=x+1,a=2,
则g(x)=f(x)﹣f(ax)=﹣x,
sgn[f(x)]=sgn(x+1)=
sgn[g(x)]=sgn(﹣x)=
﹣sgn[f(x)]=﹣sgn(x+1)=;所以D不正确;
故选:B.

17.已知f(x)=Asin(wx+θ),(w>0),若两个不等的实数x1,x2∈,且|x1﹣x2|min=π,则f(x)的最小正周期是(  )
A.3π    B.2π    C.π      D.
【考点】正弦函数的图象;三角函数的周期性及其求法.
【分析】由题意可得=π,求得ω 的值,可得f(x)的最小正周期是  的值.
【解答】解:由题意可得sin(wx+θ)=的解为两个不等的实数x1,x2,且 =π,求得ω=
故f(x)的最小正周期是 =3π,
故选:A.

18.已知O是正三角形△ABC内部的一点, +2+3=,则△OAC的面积与△OAB的面积之比是(  )
A.     B.     C.2      D.1
【考点】平面向量的基本定理及其意义;三角形的面积公式.
【分析】对所给的向量等式进行变形,根据变化后的条件对两个三角形的面积进行探究即可,
【解答】解: +2+3=,变为
设D,E分别是对应边的中点,
由平行四边形法则知,2

由于正三角形ABC,
故S△AOC=S△ADC=××S△ABC=S△ABC,
又D,E是中点,故O到AB的距离是正三角形ABC高的一半,
所以S△AOB=×S△ABC
∴△OAC的面积与△OAB的面积之比为
故选:B

.解答题
19.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知AA1=BC=AB=2,AB⊥BC.
(1)求四棱锥A1﹣BCC1B1的体积;
(2)求二面角B1﹣A1C﹣C1的大小.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;二面角的平面角及求法.
【分析】(1)证明AB⊥BCC1B1,说明A1B1是四棱锥A1﹣BCC1B1的高,然后求解四棱锥A1﹣BCC1B1的体积.
(2)建立空间直角坐标系.求出相关点的坐标,求出=(1,1,0)是平面A1C1C的一个法向量.平面A1B1C的一个法向量利用向量的数量积求解二面角B1﹣A1C﹣C1的大小.
【解答】(本题满分12分)本题共2小题,第(1)小题,第(2)小题.
解:(1)因为AB⊥BC,三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,所以AB⊥BCC1B1,从而A1B1是四棱锥A1﹣BCC1B1的高.…
四棱锥A1﹣BCC1B1的体积为V=×2×2×2=
(2)如图(图略),建立空间直角坐标系.
则A(2,0,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),
B1(0,0,2),C1(0,2,2),…
设AC的中点为M,∵BM⊥AC,NM⊥CC1,
∴BM⊥平面A1C1C,
=(1,1,0)是平面A1C1C的一个法向量.
设平面A1B1C的一个法向量是=(x,y,z),=(﹣2,2,﹣2),=(﹣2,0,0)…
=﹣2x=0,
令z=1,解得x=0,y=1. =(0,1,1),…
设法向量的夹角为β,二面角B1﹣A1C﹣C1的大小为θ,显然θ为锐角.
∵cosθ=|cosβ|=,∴θ=
二面角B1﹣A1C﹣C1的大小为


20.已知△ABC的三个内角分别为A,B,C,且
(Ⅰ)求A的度数;
(Ⅱ)若BC=7,AC=5,求△ABC的面积S.
【考点】余弦定理;二倍角的正弦;二倍角的余弦.
【分析】(Ⅰ)利用二倍角公式、诱导公式化简已知的等式求得,可得A=60°.
(Ⅱ)在△ABC中,利用余弦定理求得AB的值,再由,运算求得结果.
【解答】解:(Ⅰ)∵.∴,….
∵sinA≠0,∴,∴,….
∵0°<A<180°,∴A=60°.…
(Ⅱ)在△ABC中,∵BC2=AB2+AC2﹣2AB×AC×cos60°,BC=7,AC=5,
∴49=AB2+25﹣5AB,
∴AB2﹣5AB﹣24=0,解得AB=8或AB=﹣3(舍),….
.…

21.平面直角坐标系中,点A(﹣2,0)、B(2,0),平面内任意一点P满足:直线PA的斜率k1,直线PB的斜率k2,k1k2=﹣,点P的轨迹为曲线C1.双曲线C2以曲线C1的上下两顶点M,N为顶点,Q是双曲线C2上不同于顶点的任意一点,直线QM的斜率k3,直线QN的斜率k4.
(1)求曲线C1的方程;
(2)如果k1k2+k3k4≥0,求双曲线C2的焦距的取值范围.
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.
【分析】(1)设P(x,y),运用直线的斜率公式,化简整理,即可得到曲线C1的方程;
(2)设双曲线方程为,Q(x0,y0)在双曲线上,再由直线的斜率公式,结合条件,得到b的范围,即可得到双曲线C2的焦距的取值范围.
【解答】解:(1)设P(x,y),

∴曲线C1的方程为
(2)设双曲线方程为
Q(x0,y0)在双曲线上,所以

,∴0<b≤2,
由双曲线C2的焦距为2
故双曲线C2的焦距的取值范围∈(2,2].

22.设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且满足:a1=1,4Sn=(an+1)2(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=+(∈N*),试求(b1+b2+…+bn﹣2n)的值;
(3)是否存在大于2的正整数m、k,使得am+am+1+am+2+…+am+k=300?若存在,求出所有符合条件的m、k;若不存在,请说明理由.
【考点】数列的极限;数列的求和.
【分析】(1)通过4an+1=4Sn+1﹣4Sn得(an+1+an)(an+1﹣an﹣2)=0,进而可得结论;
(2)通过分离bn的分母可得bn=2+2(),累加后取极限即可;
(3)假设存在大于2的正整数m、k使得am+am+1+…+am+k=300,通过(1)可得300=(2m+k﹣1)(k+1),利用2m+k﹣1>k+1≥4,且2m+k﹣1与k+1的奇偶性相同,即得结论.
【解答】解:(1)∵4Sn=(an+1)2,∴4Sn+1=(an+1+1)2,
两式相减,得4an+1=4Sn+1﹣4Sn=(an+1)2﹣(an+1+1)2=+2an+1﹣2an,
化简得(an+1+an)(an+1﹣an﹣2)=0,
又∵数列{an}各项均为正数,
∴an+1﹣an=2 (n∈N*),
∴数列{an}是以1为首项,2为公差的等差数列,
∴an=2n﹣1 (n∈N*).
(2)因为bn=+=+=2+2(),
故b1+b2+…+bn=2n+2[(1﹣)+()+…+()]=2n+2(1﹣),
于是(b1+b2+…+bn﹣2n)= [2(1﹣)]=2;
(3)结论:存在大于2的正整数m、k使得am+am+1+…+am+k=300.
理由如下:
假设存在大于2的正整数m、k使得am+am+1+…+am+k=300,
由(1),可得am+am+1+…+am+k=(2m+k﹣1)(k+1),
从而(2m+k﹣1)(k+1)=300,
由于正整数m、k均大于2,知2m+k﹣1>k+1≥4,且2m+k﹣1与k+1的奇偶性相同,
故由300=22×3×52,得

解得
因此,存在大于2的正整数m、k:,使得am+am+1+…+am+k=300.

23.已知函数f(x)=log2(x+a).
(1)若0<f(1﹣2x)﹣f(x)<,当a=1时,求x的取值范围;
(2)若定义在R上奇函数g(x)满足g(x+2)=﹣g(x),且当0≤x≤1时,g(x)=f(x),求g(x)在[﹣3,﹣1]上的反函数h(x);
(3)对于(2)中的g(x),若关于x的不等式g()≥1﹣log23在R上恒成立,求实数t的取值范围.
【考点】对数函数图象与性质的综合应用;函数恒成立问题.
【分析】(1)根据对数函数的真数部分大于0,及对数的运算性质,可将不等式化为1<,且2﹣2x>0且x+1>0,解不等式组可得x的取值范围;
(2)函数g(x)满足g(x+2)=﹣g(x),表示函数的周期为4,结合函数g(x)为奇函数,可求出x∈[﹣3,﹣1]时,函数g(x)的解析式,进而得到其反函数;
(3)关于x的不等式关于x的不等式g()≥1﹣log23在R上恒成立,等价于g()≥g(﹣)在R上恒成立,即u==﹣,∈[﹣],分类讨论后,综合讨论结果,可得实数t的取值范围.
【解答】解:(1)原不等式可化为
∴1<,且2﹣2x>0,且x+1>0,
得3﹣2
(2)∵g(x)是奇函数,∴g(0)=0,得a=1,
当x∈[﹣3,﹣2]时,﹣x﹣2∈[0,1],
g(x)=﹣g(x+2)=g(﹣x﹣2)=log2(﹣x﹣1),
此时g(x)∈[0,1],x=﹣2g(x)﹣1,
h(x)=﹣2x﹣1(x∈[0,1]).
当x∈(﹣2,﹣1]时,﹣x﹣2∈[﹣1,0),x+2∈(0,1],
g(x)=﹣g(x+2)=﹣log2(x+3),
此时,﹣g(x)∈[﹣1,0),x=2﹣g(x)﹣3,
h(x)=2﹣x﹣3.(x∈[﹣1,0)).

(3)∵关于x的不等式g()≥1﹣log23在R上恒成立,
∴记u==﹣
∵关于x的不等式g()≥1﹣log23在R上恒成立,
∴g()≥=﹣log2=﹣log2(1+)=﹣g()=g(﹣)在R上恒成立,
当t+1≥0时,u∈(﹣,﹣)=(﹣),
∴(﹣)∈[﹣],解得t∈[﹣1,20].
当t+1<0时,u∈(﹣,﹣)=(),
由g()≥=﹣log2=﹣log2(1+)=﹣g()=g(﹣)在R上恒成立,

解得t∈[﹣4,﹣1).
综上所述,实数t的取值范围是[﹣4,20].

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