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2017年湖北省高考数学试卷及解析(理科)

2017-3-31 编辑:zyy 查看次数: 手机版


一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.
1.已知为复数z的共轭复数,且(1﹣i)z=1+i,则为(  )
A.﹣i   B.i       C.1﹣i D.1+i
2.已知集合A={x|<2x≤2},B={x|ln(x﹣)≤0},则A∩(∁RB)=(  )
A.∅      B.(﹣1,]     C.[,1)       D.(﹣1,1]
3.若实数x,y满足约束条件,则z=x2+y2的最小值是(  )
A.       B.     C.1      D.4
4.已知向量满足||=1,||= •()=0,则|﹣2|=(  )
A.2      B.2 C.4      D.4
5.已知Sn为数列{an}的前n项和且Sn=2an﹣2,则S5﹣S4的值为(  )
A.8      B.10    C.16    D.32
6.已知函数f(x)=2sin()cos()(|φ|<),且对任意的x∈R,f(x)≤f(),则(  )
A.f(x)=f(x+π) B.f(x)=f(x+)     C.f(x)=f(﹣x)   D.f(x)=f(﹣x)
7.函数f(x)=ln|x|+|sinx|(﹣π≤x≤π且x≠0)的图象大致是(  )
A.  B.       C.       D.
8.关于x的方程xlnx﹣kx+1=0在区间[,e]上有两个不等实根,则实数k的取值范围是(  )
A.(1,1+]     B.(1,e﹣1]    C.[1+,e﹣1]      D.(1,+∞)
9.机器人AlphaGo(阿法狗)在下围棋时,令人称道算法策略是:每一手棋都能保证在接下来的十步后,局面依然是满意的.这种策略给了我们启示:每一步相对完美的决策,对最后的胜利都会产生积极的影响.下面的算法上算法是寻找“a1,a2,…,a10”中“比较大的数t”.现输入正整数“42,61,80,12,79,18,82,57,31,18”,从左到右依次为a1,a2,…,a10,其中最大的数记为T,则T﹣t=(  )

A.0      B.1      C.2      D.3
10.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的侧视图中的虚线部分是(  )

A.圆弧       B.抛物线的一部分
C.椭圆的一部分     D.双曲线的一部分
11.已知抛物线E的焦点为F,准线为l,过F的直线m与E交于A,B两点,C,D分别为A,B在l上的射影,M为AB的中点,若m与l不平行,则△CMD是(  )
A.等腰三角形且为锐角三角形  B.等腰三角形且为钝角三角形
C.等腰直角三角形 D.非等腰的直角三角形
12.数列{an}满足an+1=(2|sin|﹣1)an+2n,则数列{an}的前100项和为(  )
A.5050       B.5100       C.9800       D.9850

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分).
13.某厂在生产甲产品的过程中,产量x(吨)与生产能耗y(吨)的对应数据如表:


x

 30

 40

 50

 60

 y

 25

 35

 40

 45

根据最小二乘法求得回归方程为=0.65x+a,当产量为80吨时,预计需要生成能耗为  吨.
14.(1﹣x)(2x+1)4的展开式中,x3的系数为  
15.已知l为双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线,l与圆(x﹣c)2+y2=a2(其中c2=a2+b2)相交于A,B两点,若|AB|=a,则C离心率为  
16.如图,一张A4纸的长、宽分别为2a,2a,A,B,C,D分别是其四条边的中点,现将其沿图中虚线折起,使得P1,P2,P3,P4四点重合为一点P,从而得到一个多面体,关于该多面体的下列命题,正确的是  .(写出所有正确命题的序号).
①该多面体是三棱锥;②平面BAD⊥平面BCD;
③平面BAC⊥平面ACD;④该多面体外接球的表面积为5πa2.


三、解答题:本大题共5个题,共60分.解答写出文字说明、证明过程或演算过程.
17.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosA•cosC﹣cos(A+C)=sin2B.
(Ⅰ)证明:a,b,c成等比数列;
(Ⅱ)若角B的平分线BD交AC于点D,且b=6,S△BAD=2S△BCD,求BD.
18.如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的多面体中,AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,AD∥BC,AB=CD,∠ABC=60°,BC=AF=2AD=4DE=4.
(Ⅰ)请在图中作出平面α,使得DE⊂α,且BF∥α,并说明理由;
(Ⅱ)求直线EF与平面BCE所成角的正弦值.

19.某校为了解校园安全教育系列活动的成效,对全校学生进行了一次安全意识测试,根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级,同时对相应等级进行量化:“合格”记5分,“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的答卷,统计结果及对应的频率分布直方图如图所示:


等级

不合格

合格

得分

[20,40)

[40,60)

[60,80)

[80,100]

频数

6

a

24

b

(Ⅰ)求a,b,c的值;
(Ⅱ)用分层抽样的方法,从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取10人进行座谈.现再从这10人这任选4人,记所选4人的量化总分为ξ,求ξ的分布列及数学期望E(ξ);
(Ⅲ)某评估机构以指标M(M=,其中D(ξ)表示ξ的方差)来评估该校安全教育活动的成效.若M≥0.7,则认定教育活动是有效的;否则认定教育活动五校,应调整安全教育方案.在(Ⅱ)的条件下,判断该校是否应调整安全教育方案?

20.△ABC中,O是BC的中点,|BC|=3,其周长为6+3,若点T在线段AO上,且|AT|=2|TO|.
(Ⅰ)建立合适的平面直角坐标系,求点T的轨迹E的方程;
(Ⅱ)若M,N是射线OC上不同的两点,|OM|•|ON|=1,过点M的直线与E交于P,Q,直线QN与E交于另一点R,证明:△MPR是等腰三角形.
21.已知函数f(x)=mxln(x+1)+x+1,m∈R.
(Ⅰ)若直线l与曲线y=f(x)恒相切于同一定点,求l的方程;
(Ⅱ)当x≥0时,f(x)≤ex,求实数m的取值范围.

[选修4-4:坐标系与参数方程选讲]
22.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),在以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标中,圆C的方程为ρ=4cosθ.
(Ⅰ)求l的普通方程和C的直角坐标方程;
(Ⅱ)当φ∈(0,π)时,l与C相交于P,Q两点,求|PQ|的最小值.

[选修4-5:不等式选讲]
23.已知函数f(x)=|x+1|+|2x﹣4|.
(Ⅰ)解关于x的不等式f(x)<9;
(Ⅱ)若直线y=m与曲线y=f(x)围成一个三角形,求实数m的取值范围,并求所围成的三角形面积的最大值.


参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.
1.已知为复数z的共轭复数,且(1﹣i)z=1+i,则为(  )
A.﹣i   B.i       C.1﹣i D.1+i
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出.
【解答】解:∵(1﹣i)z=1+i,∴(1+i)(1﹣i)z=(1+i)(1+i),∴2z=2i,解得z=i.
=﹣i.
故选:A.

2.已知集合A={x|<2x≤2},B={x|ln(x﹣)≤0},则A∩(∁RB)=(  )
A.∅      B.(﹣1,]     C.[,1)       D.(﹣1,1]
【考点】交、并、补集的混合运算.
【分析】求解指数不等式与对数不等式化简集合A、B,再由交、并、补集的混合运算得答案.
【解答】解:∵A={x|<2x≤2}={x|﹣1<x≤1},B={x|ln(x﹣)≤0}={x|<x≤},
∴∁RB={x|x>或x},则A∩(∁RB)=(﹣1,].
故选:B.

3.若实数x,y满足约束条件,则z=x2+y2的最小值是(  )
A.       B.     C.1      D.4
【考点】简单线性规划.
【分析】由约束条件作出可行域,由z=x2+y2的几何意义,即原点O(0,0)到直线3x+4y﹣5=0的距离求得答案.
【解答】解:由约束条件,作出可行域如图,

由图可知,z=x2+y2的最小值为原点O(0,0)
到直线2x+y﹣2=0的距离的平方,
等于=
故选:B.


4.已知向量满足||=1,||= •()=0,则|﹣2|=(  )
A.2      B.2 C.4      D.4
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】利用已知条件求出,求出的值,然后求解向量的模即可.
【解答】解:||=1,||=,可得
•()=0,可得
解得=1, =4.
则|﹣2|===2.
故选:A.

5.已知Sn为数列{an}的前n项和且Sn=2an﹣2,则S5﹣S4的值为(  )
A.8      B.10    C.16    D.32
【考点】数列的求和.
【分析】运用数列的递推式:当n=1时,a1=S1,当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1,求得数列{an}的通项公式,注意检验n=1的情况,再由S5﹣S4=a5,即可得到答案.
【解答】解:当n=1时,a1=S1=2a1﹣2,
解得a1=2,
当n=2时,a1+a2=2a2﹣2,
求得a2=4,
当n≥2时,Sn=2an﹣2,
可得Sn﹣1=2an﹣1﹣2,
两式相减可得,an=2an﹣2an﹣1,
即为an=2an﹣1,
则数列{an}为首项为4,公比为2的等比数列,
则an=2n,对n=1也成立.
则S5﹣S4=a5=25=32.
故选:D.

6.已知函数f(x)=2sin()cos()(|φ|<),且对任意的x∈R,f(x)≤f(),则(  )
A.f(x)=f(x+π) B.f(x)=f(x+)     C.f(x)=f(﹣x)   D.f(x)=f(﹣x)
【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象.
【分析】利用二倍角公式化简函数f(x),根据f(x)≤f()得出f()是函数的最大值,
求出φ的值,得出f(x)解析式,从而判断出正确的选项.
【解答】解:函数f(x)=2sin()cos()=sin(x+φ),
若对任意的x∈R,f(x)≤f(),
则f()等于函数的最大值,
+φ=2kπ+,k∈Z,
则φ=2kπ+,k∈Z,
又|φ|<,∴φ=
∴f(x)=sin(x+),
∴f(x)的周期为T=2π,A、B错误;
又f(x)的对称轴是x=+kπ,k∈Z,C正确,D错误.
故选:C.

7.函数f(x)=ln|x|+|sinx|(﹣π≤x≤π且x≠0)的图象大致是(  )
A.  B.       C.       D.
【考点】利用导数研究函数的极值;函数的图象.
【分析】利用函数的奇偶性排除选项,通过函数的导数求解函数的极值点的个数,求出f(π)的值,推出结果即可.
【解答】解:函数f(x)=ln|x|+|sinx|(﹣π≤x≤π且x≠0)是偶函数排除A.
当x>0时,f(x)=lnx+sinx,可得:f′(x)=+cosx,令+cosx=0,
作出y=与y=﹣cosx图象如图:可知两个函数有一个交点,就是函数有一个极值点.
f(π)=lnπ>1,
故选:D.


8.关于x的方程xlnx﹣kx+1=0在区间[,e]上有两个不等实根,则实数k的取值范围是(  )
A.(1,1+]     B.(1,e﹣1]    C.[1+,e﹣1]      D.(1,+∞)
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;函数零点的判定定理;利用导数研究函数的极值.
【分析】转化方程为函数,通过求解函数的最值,转化求解k的范围即可.
【解答】解:关于x的方程xlnx﹣kx+1=0,
即:lnx+=k,令函数f(x)=lnx+,若方程xlnx﹣kx+1=0在在区间[,e]上有两个不等实根,
即函数f(x)=lnx,与y=k在在区间[,e]有两个不相同的交点,
f′(x)=,令=0可得x=1,
当x∈[,1)时f′(x)<0,函数是减函数,当x∈(1,e)时,f′(x)>0,函数是增函数,
函数的最小值为:f(1)=1,
f()=﹣1+e,f(e)=1+.函数的最大值为:1+
方程f(x)+m=0在关于x的方程xlnx﹣kx+1=0在区间[,e]上有两个不等实根,
则实数k的取值范围是(1,1+].
故选:A.

9.机器人AlphaGo(阿法狗)在下围棋时,令人称道算法策略是:每一手棋都能保证在接下来的十步后,局面依然是满意的.这种策略给了我们启示:每一步相对完美的决策,对最后的胜利都会产生积极的影响.下面的算法上算法是寻找“a1,a2,…,a10”中“比较大的数t”.现输入正整数“42,61,80,12,79,18,82,57,31,18”,从左到右依次为a1,a2,…,a10,其中最大的数记为T,则T﹣t=(  )

A.0      B.1      C.2      D.3
【考点】程序框图.
【分析】模拟程序框图的运行过程,可得程序框图的功能是计算并输出t的值为79,由已知求得T,即可得解.
【解答】解:模拟程序框图的运行过程,可得:
i=1
m=42,t=61,n=80
i=2
不满足条件t>4m且t>4n,m=61,t=80,n=12,i=3
不满足条件t>4m且t>4n,m=80,t=12,n=79,i=4
不满足条件t>4m且t>4n,m=12,t=79,n=18,i=5
满足条件t>4m且t>4n,结束,输出t的值为79.
由于最大的数记为T的值为82,
则T﹣t=82﹣79=3.
故选:D.

10.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的侧视图中的虚线部分是(  )

A.圆弧       B.抛物线的一部分
C.椭圆的一部分     D.双曲线的一部分
【考点】圆锥曲线的综合;由三视图求面积、体积.
【分析】由已知中的三视图可得,侧视图中的虚线部分是由平行与旋转轴的平面截圆锥所得,根据圆锥曲线的定义,可得答案.
【解答】解:由已知中的三视图可得,侧视图中的虚线部分是由平行与旋转轴的平面截圆锥所得,
故侧视图中的虚线部分是双曲线的一部分,
故选:D.

11.已知抛物线E的焦点为F,准线为l,过F的直线m与E交于A,B两点,C,D分别为A,B在l上的射影,M为AB的中点,若m与l不平行,则△CMD是(  )
A.等腰三角形且为锐角三角形  B.等腰三角形且为钝角三角形
C.等腰直角三角形 D.非等腰的直角三角形
【考点】直线与抛物线的位置关系.
【分析】画出图形,利用抛物线的简单性质判定选项即可.
【解答】解::∵点A在抛物线y2=2px上,F为抛物线的焦点,C,D分别为A,B在l上的射影,M为AB的中点,
NM是M到抛物线准线的垂线,垂足为N,准线与x轴的交点为E,如图:
∴△CMD中,CN=ND,所以三角形CMD是等腰三角形,
可得∠CFD=90°,MN>EF,
可得:∠CMD<90°.
则△CMD是等腰三角形且为锐角三角形.
故选:A.

 
12.数列{an}满足an+1=(2|sin|﹣1)an+2n,则数列{an}的前100项和为(  )
A.5050       B.5100       C.9800       D.9850
【考点】数列递推式.
【分析】由已知数列递推式求出S4,S8﹣S4,S12﹣S8的值,可得数列{an}的前100项满足S4,S8﹣S4,S12﹣S8,…是以12为首项,16为公差的等差数列,再由等差数列的前n项和求解.
【解答】解:由an+1=(2|sin|﹣1)an+2n,得:
a1=a1,
a2=a1+2,
a3=﹣a2+4=﹣a1+2,
a4=a3+6=﹣a1+8,
∴a1+a2+a3+a4=12;
同理求得a5+a6+a7+a8=28;
a9+a10+a11+a12=44;

∴数列{an}的前100项满足S4,S8﹣S4,S12﹣S8,…是以12为首项,16为公差的等差数列,
则数列{an}的前100项和为S=25×12+=5100.
故选:B.
 
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分).
13.某厂在生产甲产品的过程中,产量x(吨)与生产能耗y(吨)的对应数据如表:


x

 30

 40

 50

 60

 y

 25

 35

 40

 45

根据最小二乘法求得回归方程为=0.65x+a,当产量为80吨时,预计需要生成能耗为 59 吨.
【考点】线性回归方程.
【分析】求出x,y的平均数,代入y关于x的线性回归方程,求出a,把x=80代入,能求出当产量为80吨时,预计需要生成的能耗.
【解答】解:由题意, =45, =36.25,代入=0.65x+a,可得a=7,
∴当产量为80吨时,预计需要生成能耗为0.65×80+7=59,
故答案为:59.

14.(1﹣x)(2x+1)4的展开式中,x3的系数为 8 
【考点】二项式系数的性质.
【分析】利用二项式定理的展开式即可得出.
【解答】解:(1﹣x)(2x+1)4=(1﹣x)
∴x3的系数=4×23﹣=8.
故答案为:8.

15.已知l为双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线,l与圆(x﹣c)2+y2=a2(其中c2=a2+b2)相交于A,B两点,若|AB|=a,则C离心率为  
【考点】双曲线的简单性质;圆与圆锥曲线的综合.
【分析】求出双曲线的渐近线方程,圆的圆心与半径,利用体积推出ab关系式,然后求解离心率即可.
【解答】解:由题意可知双曲线的一条渐近线方程为:bx+ay=0,
圆(x﹣c)2+y2=a2的圆心(c,0),半径为:a,
l为双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线,l与圆(x﹣c)2+y2=a2(其中c2=a2+b2)相交于A,B两点,若|AB|=a,
可得,可得4b2=3a2,
可得4(c2﹣a2)=3a2,
解得e==
故答案为:

16.如图,一张A4纸的长、宽分别为2a,2a,A,B,C,D分别是其四条边的中点,现将其沿图中虚线折起,使得P1,P2,P3,P4四点重合为一点P,从而得到一个多面体,关于该多面体的下列命题,正确的是 ①②③④ .(写出所有正确命题的序号).
①该多面体是三棱锥;②平面BAD⊥平面BCD;
③平面BAC⊥平面ACD;④该多面体外接球的表面积为5πa2.

【考点】棱锥的结构特征.
【分析】利用图形翻折,结合勾股定理,确定该多面体是以A,B,C,D为顶点的三棱锥,利用线面垂直,判定面面垂直,即可得出结论.
【解答】解:长、宽分别为2a,2a,A,B,C,D分别是其四条边的中点,现将其沿图中虚线折起,
使得P1,P2,P3,P4四点重合为一点P,从而得到一个多面体,则
①由于,∴该多面体是以A,B,C,D为顶点的三棱锥,正确;
②∵AP⊥BP,AP⊥CP,∴AP⊥平面BCD,∵AP⊂平面BAD,∴平面BAD⊥平面BCD,正确;
③与②同理,可得平面BAC⊥平面ACD,正确;
④该多面体外接球的半径为a,表面积为5πa2,正确.
故答案为①②③④.

三、解答题:本大题共5个题,共60分.解答写出文字说明、证明过程或演算过程.
17.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosA•cosC﹣cos(A+C)=sin2B.
(Ⅰ)证明:a,b,c成等比数列;
(Ⅱ)若角B的平分线BD交AC于点D,且b=6,S△BAD=2S△BCD,求BD.
【考点】余弦定理;正弦定理.
【分析】(Ⅰ)利用两角和的余弦函数公式化简已知等式可得sinAsinC=sin2B,由正弦定理可得:b2=ac,即可得证.
(Ⅱ)由已知可得:AD+CD=6,由三角形面积公式可得AD=2CD,从而可求AD=4,CD=2,由(Ⅰ)可得:b2=36,利用角平分线的性质可得AB=2BC,即c=2a,从而可求a,c的值,进而利用余弦定理可求cosA,即可由余弦定理求得BD的值.
【解答】(本题满分为12分)
解:(Ⅰ)证明:∵cosA•cosC﹣cos(A+C)=sin2B.
∴cosA•cosC﹣(cosAcosC﹣sinAsinC)=sin2B,可得:sinAsinC=sin2B,
∴由正弦定理可得:b2=ac,
∴a,b,c成等比数列;
(Ⅱ)如图,∵角B的平分线BD交AC于点D,且b=6,可得:AD+CD=6,
∵S△BAD=2S△BCD,可得:AD=2CD,
∴解得:AD=4,CD=2,
∵由(Ⅰ)可得:b2=ac=36,
=,可得:AB=2BC,即c=2a,
∴解得:a=3,c=6
∴cosA==
∴BD==2


18.如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的多面体中,AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,AD∥BC,AB=CD,∠ABC=60°,BC=AF=2AD=4DE=4.
(Ⅰ)请在图中作出平面α,使得DE⊂α,且BF∥α,并说明理由;
(Ⅱ)求直线EF与平面BCE所成角的正弦值.

【考点】直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定.
【分析】(Ⅰ)取BC的中点G,连接EG,DG,证明平面ABF∥平面EDG,可得结论;
(Ⅱ)建立如图所示的坐标系,求出平面BCE的法向量,利用向量方法求直线EF与平面BCE所成角的正弦值.
【解答】解:(Ⅰ)取BC的中点G,连接EG,DG,则平面EDG为所求.
∵AD=2,BG=2,AD∥BC,
∴四边形ADGB是平行四边形,
∴AB∥DG,
∵AB⊄平面EDG,DG⊂平面EDG,
∴AB∥平面EDG.
同理AF∥平面EDG,
∵AB∩AF=A,
∴平面ABF∥平面EDG,
∵FB⊂平面ABF,
∴BF∥平面EDG;
(Ⅱ)以点A为坐标原点,AD为y轴,AF为z轴,过A垂直于AD的直线为x轴,建立如图所示的坐标系,则F(0,0,4),E(0,2,1),B(,﹣1,0),C(,4,0),
=(0,﹣2,3),=(0,5,0),=(﹣,3,1),
设平面BCE的法向量为=(x,y,z),则
=(,0,3),则直线EF与平面BCE所成角的正弦值==


19.某校为了解校园安全教育系列活动的成效,对全校学生进行了一次安全意识测试,根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级,同时对相应等级进行量化:“合格”记5分,“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的答卷,统计结果及对应的频率分布直方图如图所示:


等级

不合格

合格

得分

[20,40)

[40,60)

[60,80)

[80,100]

频数

6

a

24

b

(Ⅰ)求a,b,c的值;
(Ⅱ)用分层抽样的方法,从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取10人进行座谈.现再从这10人这任选4人,记所选4人的量化总分为ξ,求ξ的分布列及数学期望E(ξ);
(Ⅲ)某评估机构以指标M(M=,其中D(ξ)表示ξ的方差)来评估该校安全教育活动的成效.若M≥0.7,则认定教育活动是有效的;否则认定教育活动五校,应调整安全教育方案.在(Ⅱ)的条件下,判断该校是否应调整安全教育方案?

【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列.
【分析】(I)利用频率分布直方图的性质即可得出.

(II)从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取10人进行座谈,其中“不合格”的学生数=10=4,则“合格”的学生数=6.由题意可得ξ=0,5,10,15,20.利用“超几何分布列”的计算公式即可得出概率,进而得出分布列与数学期望.
(III)利用Dξ计算公式即可得出,可得M=,即可得出结论.
【解答】解:(I)样本容量==60.a=60﹣6﹣12﹣24=18.b=60×(0.01×20)=12,c==0.01.
(II)从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取10人进行座谈,其中“不合格”的学生数=10=4,则“合格”的学生数=10﹣4=6.
由题意可得ξ=0,5,10,15,20.
则P(ξ=0)==,P(ξ=5)==,P(ξ=10)==,P(ξ=15)==,P(ξ=20)==
∴ξ的分布列为:


ξ

 0

 5

 10

 15

 20

 P

∴Eξ=0+5×+10×+15×+20×=12.
(III)Dξ=(0﹣12)2×++(10﹣12)2×+(15﹣12)2×+(20﹣12)2×=16.
∴M===0.75>0.7,则认定教育活动是有效的;在(Ⅱ)的条件下,判断该校不用调整安全教育方案.

20.△ABC中,O是BC的中点,|BC|=3,其周长为6+3,若点T在线段AO上,且|AT|=2|TO|.
(Ⅰ)建立合适的平面直角坐标系,求点T的轨迹E的方程;
(Ⅱ)若M,N是射线OC上不同的两点,|OM|•|ON|=1,过点M的直线与E交于P,Q,直线QN与E交于另一点R,证明:△MPR是等腰三角形.
【考点】轨迹方程.
【分析】(Ⅰ)以BC所在直线为x轴,O为坐标原点,建立平面直角坐标系,利用椭圆的定义,求点T的轨迹E的方程;
(Ⅱ)设直线QM的方程,与椭圆方法联立,消去y,得(m2+1﹣2mx1)x2﹣2m(1﹣x12)x+(2mx1﹣x12﹣m2x12)=0,利用韦达定理,证明PR⊥x轴,即可证明结论.
【解答】解:(Ⅰ)以BC所在直线为x轴,O为坐标原点,建立平面直角坐标系,
则|AB|+|AC|=6>|BC|,
∴点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,
∴2a=6,2c=3
∴a=3,c=
∴b2=a2﹣c2=
∴点A的轨迹方程为: =1(y≠0);
设T(x,y),点T在线段AO上,且|AT|=2|TO|,
∴A(3x,3y),代入为=1,
整理可得点T的轨迹E的方程是: =1(y≠0);
(Ⅱ)根据题意,设M(m,0),(m>0),由|OM|•|ON|=1,
得N(,0);Q(x1,y1),P(x2,y2),R(x3,y3),
由题意,直线QM不与坐标轴平行,kQM=,直线QM的方程为y=(x﹣m)
与椭圆方法联立,消去y,得(m2+1﹣2mx1)x2﹣2m(1﹣x12)x+(2mx1﹣x12﹣m2x12)=0;
∴x1x2=
同理x1x3==x1x2,
∴x2=x3,或x1=0.
x2=x3,PR⊥x轴,
x1=0,x2=,x3===x2.PR⊥x轴,
∴|MP|=|MR|,
∴△MPR是等腰三角形.

21.已知函数f(x)=mxln(x+1)+x+1,m∈R.
(Ⅰ)若直线l与曲线y=f(x)恒相切于同一定点,求l的方程;
(Ⅱ)当x≥0时,f(x)≤ex,求实数m的取值范围.
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】(Ⅰ)f(x)=mxln(x+1)+x+1,令x=0时,f(0)=1,函数f(x)恒过点(0,1).f′(x)=mln(x+1)++1,可得f′(0)=1.根据直线l与曲线y=f(x)恒相切于同一定点,即可得出.
(Ⅱ)令g(x)=ex﹣(x+1),x≥0.g(0)=0.g′(x)=ex﹣1≥0,利用其单调性可得g(x)≥g(0)=0,因此ex≥x+1.①若f(x)=mxln(x+1)+x+1≤x+1,则f(x)≤ex,
则mxln(x+1)≤0,可得:m≤0.
②m>0时,x≥0时,若f(x)≤ex.令F(x)=f(x)﹣ex,(x≥0),F(0)=f(0)﹣1=0.由F(x)≤0,可得mxln(x+1)≤ex﹣x﹣1,x=0时,化为0≤0,恒成立,m∈R.x>0时,化为:m≤.下面证明:.令h(x)=2ex﹣2x﹣2﹣xln(x+1),h(0)=0.利用导数研究其单调性极值与最值即可得出.
【解答】解:(Ⅰ)f(x)=mxln(x+1)+x+1,令x=0时,f(0)=1,
∴函数f(x)恒过点(0,1).
f′(x)=mln(x+1)++1,∴f′(0)=1.
∵直线l与曲线y=f(x)恒相切于同一定点,
∴l的方程为:y=x+1.
(Ⅱ)令g(x)=ex﹣(x+1),x≥0.g(0)=0.
则g′(x)=ex﹣1≥0,
∴x≥0时,函数g(x)单调递增,因此g(x)≥g(0)=0,因此ex≥x+1.
①若f(x)=mxln(x+1)+x+1≤x+1,则f(x)≤ex,
则mxln(x+1)≤0,可得:m≤0.
∴m≤0时,x≥0时,f(x)≤ex恒成立.
②m>0时,x≥0时,f(x)≤ex.
令F(x)=f(x)﹣ex,(x≥0),F(0)=f(0)﹣1=0.
由F(x)≤0,可得mxln(x+1)≤ex﹣x﹣1,
x=0时,化为0≤0,恒成立,m∈R.
x>0时,化为:m≤
下面证明:
令h(x)=2ex﹣2x﹣2﹣xln(x+1),h(0)=0.
h′(x)=2ex﹣2﹣ln(x+1)﹣.h′(0)=0.
h″(x)=2ex﹣≥h″(0)=0,
∴h′(x)≥0.
∴函数h(x)在[0,+∞)上单调递增,∴h(x)≥h(0)=0.
因此:成立,并且是其最小值.
∴m≤
综上可得:实数m的取值范围是

[选修4-4:坐标系与参数方程选讲]
22.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),在以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标中,圆C的方程为ρ=4cosθ.
(Ⅰ)求l的普通方程和C的直角坐标方程;
(Ⅱ)当φ∈(0,π)时,l与C相交于P,Q两点,求|PQ|的最小值.
【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.
【分析】(Ⅰ)利用三种方程的转化方法,求l的普通方程和C的直角坐标方程;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知圆心坐标为C(2,0),半径为2,直线过点A(3,1),CA⊥PQ时,可求|PQ|的最小值.
【解答】解:(Ⅰ)直线l的参数方程为(t为参数),普通方程为y﹣1=tanφ(x﹣3),
圆C的方程为ρ=4cosθ,直角坐标方程为x2+y2=4x;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知圆心坐标为C(2,0),半径为2,直线过点A(3,1),∴|CA|=
∴CA⊥PQ时,|PQ|的最小值为2=2

[选修4-5:不等式选讲]
23.已知函数f(x)=|x+1|+|2x﹣4|.
(Ⅰ)解关于x的不等式f(x)<9;
(Ⅱ)若直线y=m与曲线y=f(x)围成一个三角形,求实数m的取值范围,并求所围成的三角形面积的最大值.
【考点】绝对值三角不等式;绝对值不等式的解法.
【分析】(Ⅰ)分类讨论以去掉绝对值号,即可解关于x的不等式f(x)<9;
(Ⅱ)作出函数的图象,结合图象求解.
【解答】解:(Ⅰ)x≤﹣1,不等式可化为﹣x﹣1﹣2x+4<9,∴x>﹣2,∴﹣2<x≤﹣1;
﹣1<x<2,不等式可化为x+1﹣2x+4<9,∴x>﹣4,∴﹣1<x<2;
x≥2,不等式可化为x+1+2x﹣4<9,∴x<4,∴2≤x<4;
综上所述,不等式的解集为{x|﹣2<x<4};
(Ⅱ)f(x)=|x+1|+2|x﹣2|,
由题意作图如下,

结合图象可知,A(3,6),B(﹣1,6),C(2,3);
故3<m≤6,
且m=6时面积最大为×(3+1)×3=6.

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