您现在的位置: 17教育网 >> 实用文档 >> 数学学习方法 >> 正文

2017年上海市高考数学试及答案解析

2017-3-31 编辑:zyy 查看次数: 手机版

 
.填空题(本大题共12题,满分48分,第16题每题4分,第712题每题5分)
1.设集合A={1,2,3},集合B={3,4},则A∪B=  
2.不等式|x﹣1|<3的解集为  
3.若复数z满足2﹣1=3+6i(i是虚数单位),则z=  
4.若,则=  
5.若关于x、y的方程组无解,则实数a=  
6.若等差数列{an}的前5项的和为25,则a1+a5=  
7.若P、Q是圆x2+y2﹣2x+4y+4=0上的动点,则|PQ|的最大值为  
8.已知数列{an}的通项公式为,则=  
9.若的二项展开式的各项系数之和为729,则该展开式中常数项的值为  
10.设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,点P在该椭圆上,则使得△F1F2P是等腰三角形的点P的个数是  
11.设a1、a2、…、a6为1、2、3、4、5、6的一个排列,则满足|a1﹣a2|+|a3﹣a4|+|a5﹣a6|=3的不同排列的个数为  
12.设a、b∈R,若函数在区间(1,2)上有两个不同的零点,则f(1)的取值范围为  
 
.选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)
13.函数f(x)=(x﹣1)2的单调递增区间是(  )
A.[0,+∞)    B.[1,+∞)    C.(﹣∞,0]  D.(﹣∞,1]
14.设a∈R,“a>0”是“”的(  )条件.
A.充分非必要  B.必要非充分
C.充要       D.既非充分也非必要
15.过正方体中心的平面截正方体所得的截面中,不可能的图形是(  )
A.三角形   B.长方形
C.对角线不相等的菱形       D.六边形
16.如图所示,正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2,若P为该正八边形边上的动点,则的取值范围为(  )

A.       B.      C.      D.
 
.解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)
17.(12分)如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=3;
(1)求四棱锥A1﹣ABCD的体积;
(2)求异面直线A1C与DD1所成角的大小.

18.(12分)设a∈R,函数
(1)求a的值,使得f(x)为奇函数;
(2)若对任意x∈R成立,求a的取值范围.
19.(12分)某景区欲建造两条圆形观景步道M1、M2(宽度忽略不计),如图所示,已知AB⊥AC,AB=AC=AD=60(单位:米),要求圆M1与AB、AD分别相切于点B、D,圆M2与AC、AD分别相切于点C、D;
(1)若∠BAD=60°,求圆M1、M2的半径(结果精确到0.1米)
(2)若观景步道M1与M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元,如何设计圆M1、M2的大小,使总造价最低?最低总造价是多少?(结果精确到0.1千元)

20.(12分)已知双曲线(b>0),直线l:y=kx+m(km≠0),l与Γ交于P、Q两点,P'为P关于y轴的对称点,直线P'Q与y轴交于点N(0,n);
(1)若点(2,0)是Γ的一个焦点,求Γ的渐近线方程;
(2)若b=1,点P的坐标为(﹣1,0),且,求k的值;
(3)若m=2,求n关于b的表达式.
21.(12分)已知函数f(x)=log2
(1)解方程f(x)=1;
(2)设x∈(﹣1,1),a∈(1,+∞),证明:∈(﹣1,1),且f()﹣f(x)=﹣f();
(3)设数列{xn}中,x1∈(﹣1,1),xn+1=(﹣1)n+1,n∈N*,求x1的取值范围,使得x3≥xn对任意n∈N*成立.
 


参考答案与试题解析

.填空题(本大题共12题,满分48分,第16题每题4分,第712题每题5分)
1.设集合A={1,2,3},集合B={3,4},则A∪B= {1234} 
【考点】并集及其运算.
【分析】根据集合的并集的定义求出A、B的并集即可.
【解答】解:集合A={1,2,3},
集合B={3,4},
则A∪B={1,2,3,4},
故答案为:{1,2,3,4}.
【点评】本题考查了集合的并集的定义以及运算,是一道基础题.

2.不等式|x﹣1|<3的解集为 (﹣24) 
【考点】绝对值不等式的解法.
【分析】根据绝对值的性质去掉绝对值,求出不等式的解集即可.
【解答】解:∵|x﹣1|<3,
∴﹣3<x﹣1<3,
∴﹣2<x<4,
故不等式的解集是(﹣2,4),
故答案为:(﹣2,4).
【点评】本题考查了解绝对值不等式问题,是一道基础题.

3.若复数z满足2﹣1=3+6i(i是虚数单位),则z= 23i 
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.
【解答】解:∵2﹣1=3+6i,
,则
∴z=2﹣3i.
故答案为:2﹣3i.
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.

4.若,则=  
【考点】运用诱导公式化简求值.
【分析】由已知利用诱导公式即可化简求值.
【解答】解:∵
=﹣cosα=﹣
故答案为:﹣
【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用,属于基础题.

5.若关于x、y的方程组无解,则实数a= 6 
【考点】根的存在性及根的个数判断.
【分析】把方程组无解转化为两条直线无交点,然后结合两直线平行与系数的关系列式求得a值.
【解答】解:若关于x、y的方程组无解,
说明两直线x+2y﹣4=0与3x+ay﹣6=0无交点.
,解得:a=6.
故答案为:6.
【点评】本题考查根的存在性与根的个数判断,考查数学转化思想方法,是中档题.

6.若等差数列{an}的前5项的和为25,则a1+a5= 10 
【考点】等差数列的前n项和.
【分析】由等差数列前n项和公式得=25,由此能求出a1+a5.
【解答】解:∵等差数列{an}的前5项的和为25,
=25,
∴a1+a5=25×=10.
故答案为:10.
【点评】本题考查等差数列中两项和的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用.

7.若P、Q是圆x2+y2﹣2x+4y+4=0上的动点,则|PQ|的最大值为 2 
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】圆x2+y2﹣2x+4y+4=0,可化为(x﹣1)2+(y+2)2=1,|PQ|的最大值为直径长.
【解答】解:圆x2+y2﹣2x+4y+4=0,可化为(x﹣1)2+(y+2)2=1,
∵P、Q是圆x2+y2﹣2x+4y+4=0上的动点,
∴|PQ|的最大值为2,
故答案为2.
【点评】本题考查圆的方程,考查学生的计算能力,比较基础.

8.已知数列{an}的通项公式为,则=  
【考点】等比数列的前n项和;极限及其运算.
【分析】利用等比数列的求和公式,结合极限,即可得出结论.
【解答】解: ==
故答案为:
【点评】本题考查等比数列的求和公式,考查极限方法,属于中档题.

9.若的二项展开式的各项系数之和为729,则该展开式中常数项的值为 160 
【考点】二项式系数的性质.
【分析】令x=1,由题意可得:3n=729,解得n.再利用二项式定理的通项公式即可得出.
【解答】解:令x=1,由题意可得:3n=729,解得n=6.
∴展开式的通项公式为:Tr+1=2rC6rx6﹣2r,
令6﹣2r=0,解得r=3,
∴其展开式中常数项=8×20=160,
故答案为:160.
【点评】本题考查了二项式定理的应用,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.

10.设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,点P在该椭圆上,则使得△F1F2P是等腰三角形的点P的个数是 6 
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】如图所示,①当点P与短轴的顶点重合时,△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形,此时有2个.
②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时,共有4个.
【解答】解:如图所示,
①当点P与短轴的顶点重合时,
△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形,
此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P;
②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时,共有4个.
以F2P作为等腰三角形的底边为例,
∵F1F2=F1P,
∴点P在以F1为圆心,半径为焦距2c的圆上
因此,当以F1为圆心,半径为2c的圆与椭圆C有2交点时,
存在2个满足条件的等腰△F1F2P.
同理可得:当以F2为圆心,半径为2c的圆与椭圆C有2交点时,存在2个满足条件的等腰△F1F2P.
综上可得:满足条件的使得△F1F2P是等腰三角形的点P的个数为6.
故答案为:6.

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、等腰三角形,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

11.设a1、a2、…、a6为1、2、3、4、5、6的一个排列,则满足|a1﹣a2|+|a3﹣a4|+|a5﹣a6|=3的不同排列的个数为 48 
【考点】排列、组合的实际应用.
【分析】根据题意,分析可得需要将1、2、3、4、5、6分成3组,其中1和2,3和4,5和6必须在一组,进而分2步进行分析:首先分析每种2个数之间的顺序,再将分好的三组对应三个绝对值,最后由分步计数原理计算可得答案.
【解答】解:根据题意,若|a1﹣a2|+|a3﹣a4|+|a5﹣a6|=3,则|a1﹣a2|=|a3﹣a4|=|a5﹣a6|=1,
需要将1、2、3、4、5、6分成3组,其中1和2,3和4,5和6必须在一组,
每组2个数,考虑其顺序,有A22种情况,三组共有A22×A22×A22=8种顺序,
将三组全排列,对应三个绝对值,有A33=6种情况,
则不同排列的个数为8×6=48;
故答案为:48.
【点评】本题考查排列、组合的应用,注意分析1、2、3、4、5、6如何排列时,能满足|a1﹣a2|+|a3﹣a4|+|a5﹣a6|=3.

12.设a、b∈R,若函数在区间(1,2)上有两个不同的零点,则f(1)的取值范围为 (01) 
【考点】函数零点的判定定理.

【分析】函数在区间(1,2)上有两个不同的零点,即方程x2+bx+a=0在区间(1,2)上两个不相等的实根,

画出数对(a,b)所表示的区域,求出目标函数z=f(1)═a+b+1的范围即可.
【解答】解:函数在区间(1,2)上有两个不同的零点,
即方程x2+bx+a=0在区间(1,2)上两个不相等的实根,

如图画出数对(a,b)所表示的区域,目标函数z=f(1)═a+b+1
∴z的最小值为z=a+b+1过点(1,﹣2)时,z的最大值为z=a+b+1过点(4,﹣4)时
∴f(1)的取值范围为(0,1)
故答案为:(0,1)

【点评】本题是函数零点的考查,涉及到规划问题的结合,属于难题.

.选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)
13.函数f(x)=(x﹣1)2的单调递增区间是(  )
A.[0,+∞)    B.[1,+∞)    C.(﹣∞,0]  D.(﹣∞,1]
【考点】函数的单调性及单调区间.
【分析】根据二次函数的性质求出函数的递增区间即可.
【解答】解:函数f(x)的对称轴是x=1,开口向上,
故f(x)在[1,+∞)递增,
故选:B.
【点评】本题考查了二次函数的性质,是一道基础题.

14.设a∈R,“a>0”是“”的(  )条件.
A.充分非必要  B.必要非充分
C.充要       D.既非充分也非必要
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】根据充分必要条件的定义判断即可.
【解答】解:由,解得:a>0,
故a>0”是“”的充要条件,
故选:C.
【点评】本题考查了充分必要条件,考查不等式问题,是一道基础题.

15.过正方体中心的平面截正方体所得的截面中,不可能的图形是(  )
A.三角形   B.长方形
C.对角线不相等的菱形       D.六边形
【考点】平行投影及平行投影作图法.
【分析】根据截面经过几个面得到的截面就是几边形判断即可.
【解答】解:过正方体中心的平面截正方体所得的截面,至少与正方体的四个面相交,所以不可能是三角形,
故选:A.
【点评】解决本题的关键是理解截面经过几个面得到的截面就是几边形.

16.如图所示,正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2,若P为该正八边形边上的动点,则的取值范围为(  )

A.       B.      C.      D.
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】由题意求出以A1为起点,以其它顶点为向量的模,再由正弦函数的单调性及值域可得当P与A8重合时,取最小值,求出最小值,结合选项得答案.
【解答】解:由题意,正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的每一个内角为135°,

再由正弦函数的单调性及值域可得,
当P与A8重合时,最小为==
结合选项可得的取值范围为
故选:B.
【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查数形结合的解题思想方法,属中档题.

.解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)
17.(12分)(2017•上海模拟)如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=3;
(1)求四棱锥A1﹣ABCD的体积;
(2)求异面直线A1C与DD1所成角的大小.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;异面直线及其所成的角.
【分析】(1)四棱锥A1﹣ABCD的体积=,由此能求出结果.
(2)由DD1∥CC1,知∠A1CC1是异面直线A1C与DD1所成角(或所成角的补角),由此能求出异面直线A1C与DD1所成角的大小.
【解答】解:(1)∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=3,
四棱锥A1﹣ABCD的体积:
====4.
(2)∵DD1∥CC1,∴∠A1CC1是异面直线A1C与DD1所成角(或所成角的补角),
∵tan∠A1CC1===
=
∴异面直线A1C与DD1所成角的大小为

【点评】本题考查三棱锥的体积的求法,考查异面直线所成角的求法,是中档题,解题时要认真审题,注空间思维能力的培养.

18.(12分)(2017•上海模拟)设a∈R,函数
(1)求a的值,使得f(x)为奇函数;
(2)若对任意x∈R成立,求a的取值范围.
【考点】函数恒成立问题;函数奇偶性的性质.
【分析】(1)由f(x)在R上为奇函数,可得f(0)=0,解方程可得a的值,检验即可;
(2)由题意可得即为恒成立,等价为,即有2(a﹣1)<a(2x+1),讨论a=0,a>0,a<0,由参数分离,求得右边的范围,运用恒成立思想即可得到a的范围.
【解答】解:(1)由f(x)的定义域为R,
且f(x)为奇函数,可得f(0)=0,
即有=0,解得a=﹣1.
则f(x)=,f(﹣x)===﹣f(x),
则a=﹣1满足题意;
(2)对任意x∈R成立,
即为恒成立,
等价为
即有2(a﹣1)<a(2x+1),
当a=0时,﹣1<0恒成立;
当a>0时,<2x+1,
由2x+1>1,可得≤1,
解得0<a≤2;
当a<0时,>2x+1不恒成立.
综上可得,a的取值范围是[0,2].
【点评】本题考查函数的奇偶性的运用:求参数的值,考查不等式恒成立问题的解法,注意运用分类讨论和参数分离的思想方法,考查运算能力,属于中档题.

19.(12分)(2017•上海模拟)某景区欲建造两条圆形观景步道M1、M2(宽度忽略不计),如图所示,已知AB⊥AC,AB=AC=AD=60(单位:米),要求圆M1与AB、AD分别相切于点B、D,圆M2与AC、AD分别相切于点C、D;
(1)若∠BAD=60°,求圆M1、M2的半径(结果精确到0.1米)
(2)若观景步道M1与M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元,如何设计圆M1、M2的大小,使总造价最低?最低总造价是多少?(结果精确到0.1千元)

【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】(1)直接利用三角函数,可得结论;
(2)设∠BAD=2α,则总造价y=0.8•2π•60tanα+0.9•2π•60tan(45°﹣α),换元,利用基本不等式,可得结论.
【解答】解:(1)M1半径=60tan30°≈34.6,M2半径=60tan15°≈16.1;
(2)设∠BAD=2α,则总造价y=0.8•2π•60tanα+0.9•2π•60tan(45°﹣α),
设1+tanα=x,则y=12π•(8x+﹣17)≥84π,当且仅当x=,tanα=时,取等号,
∴M1半径30,M2半径20,造价42.0千元.
【点评】本题考查直线与圆的位置关系,考查基本不等式的运用,属于中档题.

20.(12分)(2017•上海模拟)已知双曲线(b>0),直线l:y=kx+m(km≠0),l与Γ交于P、Q两点,P'为P关于y轴的对称点,直线P'Q与y轴交于点N(0,n);
(1)若点(2,0)是Γ的一个焦点,求Γ的渐近线方程;
(2)若b=1,点P的坐标为(﹣1,0),且,求k的值;
(3)若m=2,求n关于b的表达式.
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】(1)由双曲线(b>0),点(2,0)是Γ的一个焦点,求出c=2,a=1,由此能求出Γ的标准方程,从而能求出Γ的渐近线方程.
(2)双曲线Γ为:x2﹣y2=1,由定比分点坐标公式,结合已知条件能求出k的值.
(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2),kPQ=k0,则,由,得(b2﹣k2)x2﹣4kx﹣4﹣b2=0,由,得()x2﹣2k0nx﹣n2﹣b2=0,由此利用韦达定理,结合已知条件能求出n关于b的表达式.
【解答】解:(1)∵双曲线(b>0),点(2,0)是Γ的一个焦点,
∴c=2,a=1,∴b2=c2﹣a2=4﹣1=3,
∴Γ的标准方程为: =1,
Γ的渐近线方程为
(2)∵b=1,∴双曲线Γ为:x2﹣y2=1,P(﹣1,0),P′(1,0),
=,设Q(x2,y2),
则有定比分点坐标公式,得:
,解得,∵,∴
=
(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2),kPQ=k0,

,得(b2﹣k2)x2﹣4kx﹣4﹣b2=0,

,得()x2﹣2k0nx﹣n2﹣b2=0,
﹣x1+x2=,﹣x1x2=
∴x1x2==,即,即=
====
化简,得2n2+n(4+b2)+2b2=0,
∴n=﹣2或n=
当n=﹣2,由=,得2b2=k2+k02,
,得
即Q(),代入x2﹣=1,化简,得:
,解得b2=4或b2=kk0,
当b2=4时,满足n=
当b2=kk0时,由2b2=k2+k02,得k=k0(舍去),
综上,得n=
【点评】本题考查双曲线的渐近线的求法,考查直线的斜率的求法,考查n关于b的表达式的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意双曲线、直线、韦达定理的合理运用.

21.(12分)(2017•上海模拟)已知函数f(x)=log2
(1)解方程f(x)=1;
(2)设x∈(﹣1,1),a∈(1,+∞),证明:∈(﹣1,1),且f()﹣f(x)=﹣f();
(3)设数列{xn}中,x1∈(﹣1,1),xn+1=(﹣1)n+1,n∈N*,求x1的取值范围,使得x3≥xn对任意n∈N*成立.
【考点】函数与方程的综合运用.
【分析】(1)根据对数运算性质得=2,从而解出x的值;
(2)令g(x)=,判断g(x)的单调性得出g(x)的值域,根据对数的运算性质化简即可证明f()﹣f(x)=﹣f();
(3)利用(2)中的结论得出f(xn+1)与f(xn)的关系,判断f(xn)的周期,分别用f(x1)表示出f(x2),f(x3),f(x4),根据f(x)的单调性得出,从而求出f(x1)的范围,继而解出x1的范围.
【解答】解:(1)∵f(x)=log2=1,
=2,解得
(2)令g(x)=,则g′(x)==
∵a∈(1,+∞),∴g′(x)>0,
∴g(x)在(﹣1,1)上是增函数,
又g(﹣1)=,g(1)==1,
∴﹣1<g(x)<1,即∈(﹣1,1).
∵f(x)﹣f()=log2﹣log2=log2﹣log2
=log2()=log2
f()=log2=log2
∴f()=f(x)﹣f(),
∴f()﹣f(x)=﹣f().
(3)∵f(x)的定义域为(﹣1,1),
f(﹣x)=log2=﹣log2=﹣f(x),
∴f(x)是奇函数.
∵xn+1=(﹣1)n+1
∴xn+1=
①当n为奇数时,f(xn+1)=f()=f(xn)﹣f()=f(xn)﹣1,
∴f(xn+1)=f(xn)﹣1;
②当n为偶数时,f(xn+1)=f(﹣)=﹣f()=1﹣f(xn),
∴f(xn+1)=1﹣f(xn).
∴f(x2)=f(x1)﹣1,f(x3)=1﹣f(x2)=2﹣f(x1),f(x4)=f(x3)﹣1=1﹣f(x1),
f(x5)=1﹣f(x4)=f(x1),f(x6)=f(x5)﹣1=f(x1)﹣1,…
∴f(xn)=f(xn+4),n∈N+.
设h(x)=,则h′(x)==>0,
∴h(x)在(﹣1,1)上是增函数,
∴f(x)=log2=log2h(x)在(﹣1,1)上是增函数.
∵x3≥xn对任意n∈N*成立,
∴f(x3)≥f(xn)恒成立,
,即
解得:f(x1)≤1,即log2≤1,
∴0<≤2,
解得:﹣1<x1≤
【点评】本题考查了对数的运算性质,复合函数的单调性,不等式的解法,属于难题.

 

相关内容
热门推荐
热门图文
Copyright · 2011-2017 17jiaoyu.com Inc. All Rights Reserved. 17教育网站 版权所有 备案号:浙ICP备12027545号-2